1109145325

A = 0. Wówczas wielomian charakterystyczny ma jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny A. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e^xt , t ■ e^xt a więc CORJ = (Ci +1 ■ C2) ■ e^Xl.

Przykład 1.6 ii - 4x + 4x = 0. Wówczas A = 0, Ai = A₂ = 2 a więc CORJ = (C\+t- C₂) • e^2t.

A < 0 Wówczas brak pierwiastków rzeczywistych, są za to dwa pierwiastki zespolone sprzężone Ai = a + 0i , A₂ = a — 0i. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e^ał • cos(0t) , e^ot ■ sin(0t).

Przykład 1.7 i + 4ż + 13x = 0. Wówczas A = -36, Ai = -2 + 3ż , A₂ = -2 - 3i a więc CORJ = C\e~²¹ cos(3f) + C₂e~^2t sin(3t).

1.2.2 Równanie liniowe niejednorodne rzędu 2 o stałych współczynnikach

Rozpatrujemy równanie niejednorodne

x + bx + cx = f(t)    (8)

Łatwo zauważyć, każde dwa rozwiąnia tego równania różnią się o rozwiązanie równania jednorodnego. Twierdzenie 1.8 CORN=CSRN+CORJ

A zatem pozostaje odgadnąć jedno rozwiązanie szczególne. Podamy metodę takiego odgadywania dla funkcji typu f(t) = e^ał(P(t) cos(0t) + Q(t) sin(0t) gdzie P(t), Q(t) są wielomianami (stopnia < n).

Wówczas poszukujemy CS RN w postaci

CSRN =

e^al(P(t) cos(0t) + Q(t) sin(0t))    gdy z = a + 0i nie jest pierwiastkiem wiel. charakt.

t^r • e^al(P(t) cos(0t) + Q(t) sin(0t)) gdy z = a + (3i jest r-krotnym pierwiastkiem wiel. charakt. gdzie P , Q są wielomianami stopnia < n.

Przykład 1.9 ii - 3i + 2x = t

Wówczas a = 0 (bo nie ma prawej stronie funkcji e^at) a także 0 = 0 (bo brak funkcji trygonometrycznych). Liczba z = a + 0i = 0 nie jest pierwiastkiem charakterystycznego. A zatem przewidujemy CS RN jako wielomian stopnia < 1 tzn. CSRN = at + b.

Wstawiamy do równania: (ot+6)"—3(ot+6)'+2(at+b) = t, 0—3a+2(af+6) = t, 2at+(2b—3a) = t,

A Stąd a = 1/2 , b = 3/4 , więc CSRN = t/2 + 3/4.

Przykład 1.10 x — 2x = 4t

Wówczas podobie jak wyżej a = 0,0 = 0. Ale tutaj Liczba z = a + 0i = 0 jest (jednokrotnym) pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. A zatem przemdujemy CSRN jako tP(t) gdzie P(t) wielomian stopnia < 1 tzn. CSRN = t(at + 6) = at² + bt.