064 4

64 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

Wielomian występujący vr mianowniku ma trzy pierwiastki rzeczywiste: .y₁ = O, s₂ ~ -1. s~ = -2. Mianownik można wiec przedstawić w postaci iloczynu:

(8.7)    A'f(.s) = s(s + 1)(s + 2)

Dokonana falctotyzacja stanowi podstawą rozkładu transformaty> F(s) na ułamki proste:

(8.8)

F(j) =

5 + 3

5(5 + l)(5 + 2)

ABC

— +-+-

5    5+1    5+2

Takie przestawienie transformaty> umożliwia wykorzystanie właściwości liniowości przekształcenia Laplace'a i wyznaczenie oryginałów dla poszczególnych składników. Otrzymujemy w ten sposób:

(8.9)    f(t)-A + Be^l + Ce ²¹, t> O

Pozostaje jedynie problem rachunkowy polegający’ na wyznaczeniu stałych A, B i C. Najczęściej stosowane są dwa sposoby obliczeń.

Pierwszy sposób polega na dodaniu składników występujących po prawej stronie równości (8.8). Otrzymujemy w ten sposób:

(8.10)

F(s) =

5 + 3

5(5 + 1)(5 + 2)

(A + B + C)s² + (3 A + 2B + C)s + 2 A 5(5 + l)(.ś + 2)

Otrzymana zależność jest prawdziwa dla wszystkich wartości s, zatem współczynniki obu występujących w licznikach wielomianów powinny być równe. Uzyskujemy więc następujący uldad równań:

A	+ B +	C = 0
3.4	+ 2B +	c - 1
2 A		= 3

(8.11)

Rozwiązując powyższy■ układ równań, dostajemy: A-A, B =-2. C = 4-.

Drugi sposób polega na kolejnym wyznaczaniu stałych A, B i C. Aby obliczyć stałą A , równość (8.8) pomnożymy obustronnie ptzez s :

(8.12)

5 + 3    Bs Cs

-= A +-+-

(5 + 1)(5 + 2)    5 + 1    5 + 2

Podstawiając następnie: 5 = 0, otrzymujemy: A = — ^—— = -^. Postępując analogicznie. wyznaczymy stałą B oraz C: