058 3

58 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

Łatwo spostrzec, że pierwszy składnik stanowi składową opisującą ruch swobodny - por. (7.33), natomiast drugi składnik - składową wymuszoną. Po wykorzystaniu (7.34) otrzymujemy:

(7.43)    x(f) = r3^,~^?0,x(r₀)+e'^ł‘^,~^/°'¹ je    ' Bu(r)r7r

to

łub inaczej

t

(7.44)    x(t) = e^A(/_,°V(r₀)+ jV^v(,"^r)Bu(r)c/r

to

Otrzymany wynik stanowi przewidywaną w (7.2) zależność:

(7.45)    x(t) = <1>(x(f₀), U(_{/fl if}j)    l>t₀.

Równanie stanu nieliniowe

Równanie stanu nieliniowe zapisywać będziemy następująco:

(7.46)    x(0 = f[x(t),u(0],    t>t₀, x(t₀) = x₀,

gdzie: x(t) e i?¹, uU) & R', lub w postaci rozwiniętej:

Ą(t)		./j[x(t),u(/)]
i2(0	-	/2[x(t),u(0]
3,(t)_		/„[x(t),u(r)]

(7.47)

W przypadku równania nieliniowego rozwiązania uzyskuje się zwykle metodami numerycznymi. Przybliżoną analizę można przeprowadzić na podstawie zlinearyzowanego równania stanu. Równanie zlinearyzowane uzyskuje się poprzez wykorzystanie pierwszych wyrazów rozwinięcia funkcji t'(x.u) w szereg Taylora, tak aby w wyniku otrzymać postać (7.31) równania. Realizacja przedstawionego zamysłu linearyzacji jest możliwa tylko przy podanych niżej założeniach. Przyjmiemy, że istnieje wektor x_r spełniający warunek:

(7.48)    0 = f(x,.,0) oraz że istnieje rozwinięcie w szereg Taylora funkcji f(x,u):