076 2

76 Modelowanie dynamiki obiektów sterowania

W wyniku zastosowania przekształcenia Laplace'a do równań (9.1) i (9.3) otrzymujemy:

(9.8)    sX(s) - x(0) = A X(.y) + B U(,t)

(9.9)    Y(s) = C X(.v) + D ll(.s-)

Przy^r założeniu x(0) = 0 można wyrugować zmienną X(,s), uzyskując w wyniku¹:

(9.10)    Y(j) = [c(.vl - A)^-1 B + D j U(.t)

Funkcja zmiennej zespolonej s określona wzorem:

(9.11)    ŁI(.y) - C (sl - A)^-1 B + D

nazywa się transmitancją ulcładu (9.1) i (9.3). Możliwości wykorzystania transmitancji są bardzo atrakcyjne ze- względu na wyjątkowo prostą formułę opisującą działanie układu²:

(9.12)    Y(s) = H(s)U(j)

Najczęściej rozpatrywane są układy o skalarnym wejściu i skalarnym wyjściu (ang. SISO. single-input/single-nutput). W tym przypadku można przedstawić następującą interpretację transmitancji:

(9.13)    H(s) =

m

Niech H(s) będzie transformatą sygnału h(t). Poniew'aż Y{s)-H(s)U(s), zatem - na podstawie twierdzenia o splocie (por. tabl. 8.1) — stwierdzamy, że’

l

(9.14)    y(i) = (u * h)(t) = ^u(v)h(t - t) dr,    r> 0

o

Pozwala to nam podać równoważną definicję transmitancji. Transmitancją układu o znanej odpowiedzi impulsowej h(t) nazywa się transfonnatę Laplace’a tej odpowiedzi:

1

Zależność tę można uzyskać bezpośrednio z (9.7), wykorzystując twierdzenie o splocie (labl. S.l) oraz wzór (8.51).

2

Przypominamy, że zależność ta jest prawdziwa przy wyżej poczynionym założeniu, żc x(0) = 0 . ⁵ Por. wzór (6.24).