3

Tw3.

Jeżeli wielomian charakteiyst. mac. [A] ma n różnych pierwiastków (wart. własn.) to wektory własne mac. [A] odpowiadające parom różnych wart. własnych są liniowo niezależne.

Tw4.    n

Jeżeli wartościami własnymi nieosobliwej mac. [A] są liczby X,- gdzie i=l,2,...,n to wartościami własnymi mac. odwrotnej są liczby Xf' gdzie i=l,2,...,n.

Tw5.

”    »r?

Jeżeli wszystkie wartości własne mac. [A] są różne to istnieje przekształcenie przez podobieństwo [P]' ‘[A][P]=[a3, gdzie [Q)=diag{h,X₂,...X).

Najczęściej stosowane metody rozwiązywania problemu własnego:

•    met. Jacobiego- najczęściej stosowana

•    met. Givensa- polegająca na sprowadzeniu mac.współcz.do mac.trójdiagonalnej

•    met.' Housenholdera- przekszt. mac.wsp. do mac.trójdiagonalnej, ale nie przy pomocy mac.obrotu

•    metody LR i QR- polega na znalezieniu częstości oparte na kolejnych rozkładach mac. wsp. na mac. trójkątne

•    met. potęgowa- służy do wyszukiwania największej lub najmniejszej częstości drgań własnych Metody rozw.równ.nieliniowych można podzielić na 2 gr:

1.    Metceamknięte- met, w których poszukuje się pierwiastka, który leży między pktami, dla których f-cja przybiera przeciwne znaki.

Do met.zamkniętych zaliczamy:

-    met. poszukiwania

-    met. połowienia kroku

-    met. min.lokalnego

2.    Met. otwarte- nie wyznacza się prz., w których poszukuje się rozw.

-    met. Monte Carlo

-    met. siecznych

-    met. stycznych (met.Newtona)

METODY ZAMKNIĘTE

-    met przeszukiwania- w met. tej zakładamy, że pierwiastek znajduje się w prz.<a,b>. Przedz.ten dzielimy na n równych podprzedziałów i obliczmy wartości f-cji w pktach prz. Następnie poszukujemy odcinka, na którego końcach f-cja ma przeciwne znaki. Pierwiastek może znajdować się w tym podprz. z dokładnością równą dłg. prz. Jeżli takiego podprz., w którym fcja zmienia znaki nie ma, to uważamy, że na danym odcinku nie ma pierwiastka. Zalety- met. b. prosta

Wady (1) krok może się wykazać zbyt duży i można pominąć jakiś pierwiastek; (2)nie można znaleźć pierwiastka, w którym fuj osiąga min i max; (3)zwiększenie dokładności wymaga znacznego zmniejszenia dłg.kroku, a to powoduje znaczne przedłużenie czasu obliczeń.

-    met. połowienia kroku- stosuje się jako uzupełnienie met.przeszukiwania. Po określeniu przędz., w którym znajduje się pierwiastek dzielimy te prz. Na dwde części i sprawdzamy, w' której z tych części f-cja zmienia znaki. Tę część połowimy dalej. Na każdym kroku dłg. prz. zmniejsza się o połowę.

Zalety- zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do osiągnięcia zadanej dokładności.

-    met. minimum lokalnego- poszukuje się pktów, w których fcja osiąga min. Badany prz.<a,b>przeszukuje się z krokiem h. Jeżeli f-cja maleje, to posuwamy się dalej w tym samym kierunku z tym samym krokiem. Jeżeli nie, to zawracamy zmniejszając dłg kroku o połowę. Met. tę można wyznaczyć min.lokalne, które w szczególności może być =0. Przy takim postępowaniu można wyznaczyć wszystkie pierwiastki i eksterni f-cji f(x) w danym prz. METODY OTWARTE

-    Met. Monte Carlo- pkty w prz. wybiera się losowo. Po każdym losow-aniu zapamiętuje się najmniejszą wartość obliczonej fcji oraz odpowiadające tej w-artości zmiennej x. Następnie przeprowadza się kolejną serię losowania i uzyskaną w niej najmniejszą wart, fcji porównuje się z najmniejszą wart. Z poprzedniej serii. W ten sposób przy mniejszej liczbie losow-ań znajduje się min.lokalne

Zalety- w porównaniu z met.zamkniętymi stwarza szanse wylosow'ania pktów, które mogłyby być pominięte przy przeszukiwaniu systematycznym. Daje szanse wylosowania min globalnego, a nie tylko lokalnego. Jest skuteczna dla fcji nieregularnych, gdyż nie bierze pod uw'agę zachowania się fcji w otoczeniu pktów.

Wady- (1 Czasochłonność; (2)nie nadaje się do obliczeń ręcznych

-    met siecznych- polega na zastąpieniu wykresu fcji na odcinku <AB>przez fcje liniową. Następnie znajdujemy miejsce zerow-e x wyliczane jako: x~A-f(A)*(B-A)/(f(B)-f(A)). Następnie wyliczamy w'art.fcji w' pkcie x=f(x). Jeżeli f(x)-f(A)<0 to A=>B, jeżeli f(x)-f(A)>0 to A=>A B=>x. Za lepsze przybliżenie wartości pierw iastka przyjmuje się pkt przecięcia wykresu liniowego z osiąx. Jeżeli dokładność nie jest wystarczająca, przyjmuje się pkt xjako granicę prz.