[wersja z 5 X 2010]
Analiza Matematyczna 3
Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki
Uniwersytet Jana Kochanowskiego 2010/2011
Wojciech Broniowski
1
Powierzchnie kawałkami gładkie
RYS
Sfera Alexandra
Butelka Kleina
2
3
Całki wielowymiarowe
Uogólnienie calki Riemanna:
P = [a1,b1]×[a2,b2]×...×[an,bn]
| P |= (b1 - a1)Å"...Å"(bn - an)
´ = (b1 - a1)2 +...+ (bn - an)2
Dokonujemy podzialu prostokÄ…ta
mi = inf{ f (x) : x " Pi}, Mi = sup{ f (x) : x " Pi}
s = m1 | P1 | +...+ mk || Pk | , S = M1 | P1 | +...+ Mk | Pk |
Rozważamy normalny (´n 0) ciÄ…g podzialów
s* = lim sn - calka dolna, S* = lim Sn - calka górna funkcji f na prostokącie P
n" n"
Jeżeli s* = S* to wielkosć tę nazywamy wielokrotną calka Riemanna
Notacja:
+"+"dxdy f (x, y), +"+"+"dxdydz g(x, y, z)
P P
4
Całka iterowana
P = [a1,b1]×[a2,b2]
b2 b1 b1 b2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
dy ìÅ‚ dy f (x, y) - calki iterowane
÷Å‚
+" +"dx f (x, y)÷Å‚, +"dx ìÅ‚ +"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a2 a1 a1 a2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe
calce Riemanna
+"+"dxdy f (x, y).
P
(analogicznie dla większej liczby wymiarów)
Przyklad: P = [0,1]×[0, 2]
2
1 2 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
x2 y2 2
2 2 2
+"+"dxdy (x y + 2) =+"dxìÅ‚+"dy (x y + 2)÷Å‚ = +"dx ( 2 + 2y) = +"dx(2x + 4) = 3 + 4
P 0 íÅ‚ 0 Å‚Å‚ 0 0
y=0
1
2 1 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
x3 y y 2
2
=
+"dy ìÅ‚+"dx (x y + 2)÷Å‚ = +"dy ( 3 + 2x) = +"dx( 3 + 2) = 3 + 4
0 íÅ‚ 0 Å‚Å‚ 0 0
x=0
5
Całki po dowolnym obszarze
A ‚" Rn
f (x) dla x " A
Å„Å‚
F(x) =
òÅ‚0 dla x " P \ A
ół
Õ,È :[a,b] R
A = {(x, y) : a d" x d" b, Õ(x) d" y d"È (x)}- zbiór normalny wzglÄ™dem Ox
Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz
È ( x)
b
dy f (x, y)
+"+"dxdy f (x, y) = +"dx +"
A a Õ ( x)
Przyklad:
A={(x, y) : 0 d" x d" 1, 0 d" y d"1- x}- trójkąt
1 1-x 1
1 1
dy xy =
+"+"dxdy xy = +"dx +" +"dx 2 (1- x)2 x = 24
A 0 0 0
6
Zastosowania całek wielokrotnych
V =
+"+"+"dxdydz
A
A = {(x, y, z) : x, y, x e" 0, x + y + z d" 1}
x, y - ustalone Ò! z d" 1- x - y
x - ustalone, szukamy największego możliwego y: y d"1- x - z,
ponieważ najmniejsze z = 0 Ò! y d" 1- x
1-x- y
1 1-x 1 1-x 1
îÅ‚ Å‚Å‚
(1- x)2 1
V = dy dz = dy(1- x - y) =
ïÅ‚(1- śł
+"dx +" +" +"dx +" +"dx ðÅ‚ x)2 - 2 ûÅ‚ = 6
0 0 0 0 0 0
1
Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V =
n!
7
Środek ciężkości
1 1
x = x dxdy y = y dxdy - figura 2-wym.
+"+" +"+"
| A | | A |
A A
1 1
x = x dxdydz, z =
+"+"+" +"+"+"z dxdydz - bryla
|V | |V |
V V
Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu
regularnego zbioru A wokól Ox: |V |= 2Ą y dxdy
+"+"
A
1
Reguly Guldina: |V |= 2Ä„· | A |, · = y dxdy,
+"+"
| A |
A
Dla torusa |V |= 2Ä„ a Ä„ r2
Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy
²
1
|S| = 2Ä„¾ | L |, ¾ = ydt - odleglosc srodka ciężkosci luku od osi obrotu
+"
| L |
Ä…
Dla torusa |S |= 2Ä„ a 2Ä„ r
8
Pole powierzchni
r
r
Pole powierzchni równolegloboku rozpiętego na wektorach a i b
r
r
wynosi S= a × b . Z rysunku wynika, że
r
r
a = (dx,0, fxdx), b = (0,dy, fydy), zatem
Ć
iĆ 5
k
S = dx 0 fxdx
0 dy fydy
Ć
Ć
= -ifxdxdy - 5
fydxdy + kdxdy
= 1+ fx2 + fy 2dxdy
9
z = f (x, y), (x, y)" A
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
"f "f
ëÅ‚ öÅ‚
| S |=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"dxdy 1+ íÅ‚ "x Å‚Å‚ + íÅ‚ "y Å‚Å‚
A
Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię równoleglobokami
Przyklad:
f (x, y) = 1- x - y
A = {(x, y) : x, y e" 0, x + y d" 1}
3
| S |=
+"+"dxdy 3 = 2
A
10
Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm
f "C1 : Rn ƒ" U V ‚" Rn, homeomorfizm rzÄ™du n
-1
(bijekcja, pochodna Frecheta odwracalna, f i fb ciÄ…gle)
Õ (b)
Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f ( y) =
+" +"dx f (Õ(x))Õ '(x), y = Õ(x)
Õ (a) a
Tw. Õ : X ‚" Rn Y ‚" Rn klasy C1
"Õ1 "Õ1
"x1 "xn
J (x) = `" 0 - jakobian przeksztalcenia Õ
"Õn "Õn
"x1 "xn
Wtedy
f ( y1,.., yn)dy1..dyn =
+"...+"
Y
f (Õ1(x1,.., xn)) | J (x1,.., xn) | dx1..dxn, yi = Õi(x1,..., xn)
+"...+"
X 11
Podstawowe układy współrzędnych
Współrzędne biegunowe (osiowe)
Åš : R2 R2
Ś1 x(r,Ć)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Ś(r,Ć) = =
ìÅ‚Åš ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚, x = r cosĆ, y = r sinĆ
y(r,Ć)łł
íÅ‚ 2 Å‚Å‚ íÅ‚
r(x, y)
ëÅ‚ öÅ‚ y
Åš-1(x, y) =
ìłĆ(x, y)÷Å‚, r = x2 + y2 , Ć=arctg x
íÅ‚ Å‚Å‚
"x "x
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
cosĆ -r sinĆ
"r "Ć
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ś '(r,Ć) = =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ "y "y ÷Å‚ sinĆ r cosĆ
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"r "Ć
íÅ‚ Å‚Å‚
cosĆ -r sinĆ
J = = r
+"dxdy f (x, y) =+"rdrdĆ f (x(x,Ć), y(r,Ć))
sinĆ r cosĆ
Homeomorfizm regularny dla r `" 0, rząd Ś ' = 2. Dla r = 0 jest osobliwosć, bo w tym
punkcie nie można okreslić kąta
12
Przyklady:
r 2Ä„
dxdy rdrdĆ
= = dr dĆ = R2Ą
+" +" +" +"
0 0
x2 + y2 r2 d"R2 r
x2 + y2 d"R2
R
R
2 2 2
-r2
IR = e- x2 - y2dxdy = e-r rdrdĆ = 2Ą = Ą -Ąe-R
+" +" +"rdre = -Ä„ e-r
r=0
0
x2 + y2 d"R2 r2 d"R2
I" = lim IR = Ä„
R"
2
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚
I" = dx e- x2 dy e- y2 = dx e- x2 ÷Å‚ Ò! dx e- x2 = Ä„
ìÅ‚
+" +" +" +"
-" -" íÅ‚ -" Å‚Å‚ -"
Całka Gaussa
13
Współrzędne eliptyczne
x = ar cosĆ
y = br sinĆ
x2 y2
+ = r2, J = abr
a2 b2
Współrzędne walcowe (cylindryczne)
x = r cosĆ
y = r sinĆ
z = z
J = r
Liniowa zmiana skali
x = ax '
y = by '
z = cz '
J = abc
14
Współrzędna sferyczne (kuliste)
Åš : R3 R3
x = r sin¸ cosĆ
y = r sin¸ sinĆ
z = r cos¸
¸ "[0,Ä„ ] - kÄ…t osiowy(szerokosć geogr.),
Ć "[0, 2Ą ) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr.)
sin¸ cosĆ r cos¸ cosĆ -r sin¸ sinĆ
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Åš ' = sin¸ sinĆ r cos¸ sinĆ r sin¸ cosĆ
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
cos¸ -r sin¸ 0
íÅ‚ Å‚Å‚
J = r2 sin¸
r = 0 Ò! rz Åš ' = 1- w srodku kuli nie można okreslić kÄ…tów
¸ = 0 ("¸ = Ä„ Ò! rz Åš ' = 2 - na biegunach nie można okrelić kÄ…ta Ć
15
Przyklad:
Objętosć kuli
R Ä„ 2Ä„ R 1 2Ä„
R3 4
V = dxdydz = dĆr2 sin¸ = d cos¸ dĆr2 = 2Å" 2Ä„ = Ä„ R3
+"+"+" +"dr+"d¸ +" +"dr+" +"
3 3
0 0 0 0 -1 0
x2 + y2 + z2 (d cos¸ = -sin¸d¸ )
Srodek ciężkosci pólkuli:
z dxdydz
+"+"+"
R Ä„ / 2 2Ä„
x2 + y2 + z2 1
z>0
· = = d¸ dĆr2 sin¸ r cos¸ =
+"dr +" +"
2
dxdydz
+"+"+" Ä„ R3 0 0 0
x2 + y2 + z2 z>0
R 1 2Ä„
3 3 R4 1 3
= dĆ r3 cos¸ = 2Ä„ = R
+"dr+"d cos¸ +"
2Ä„ R3 0 0 2Ä„ R3 4 2 8
0
16
Równanie prostej i płaszczyzny
17
PÅ‚aszczyzna styczna
Rozważmy powierzchnię gładką o równaniu f(x,y,z)=0 w okolicy (x0, y0, z0).
"f "f "f
f (x0 + dx, y0 + dy, z0 + dz) = 0 = dx + dy + dz
x=x0 x=x0
x=x0
"x "y "z
y= y0 y= y0
y= y0
z=z0 z=z0
z=z0
Dla punktów na plaszczyz
nie (dx,dy,dz) = k(x - x0, y - y0, z - z0), więc
"f "f "f
(x - x0) + ( y - y0) + (z - z0) = 0
x=x0
x=x0 x=x0
"x "y "y
y= y0
y= y0 y= y0
z=z0
z=z0 z=z0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"f "f "f
Wektor , , jest prostopadly (normalny) do
ìÅ‚ ÷Å‚
x=x0 x=x0
x=x0
"x "y "z
y= y0 y= y0
ìÅ‚ ÷Å‚
y= y0
ìÅ‚ ÷Å‚
z=z0 z=z0
z=z0
íÅ‚ Å‚Å‚
powierzchni w punkcie (x0, y0, z0).
18
Prosta prostopadla do powierzchni w tym
punkcie ma więc równanie parametryczne
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"f "f "f
t + x0, t + y0, t + z0
ìÅ‚ ÷Å‚
x=x0 x=x0
x=x0
"x "y "z
y= y0 y= y0
ìÅ‚ ÷Å‚
y= y0
ìÅ‚ ÷Å‚
z=z0 z=z0
z=z0
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla sfery f = x2 + y2 + z2 - R2, więc prosta prostopadla ma równanie
2x0t + x0, 2y0t + y0, 2z0t + z0
( )
19
Plaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie x jest przestrzeniÄ… liniowÄ….
Niech Åš :V ‚" Rk Rn, e1,e2,...,ek tworzÄ… bazÄ™ w Rk , oraz y = Åš(x).
Wtedy ui = Åš '(x)ei tworzÄ… bazÄ™ w przestrzeni stycznej.
Przyklad:
ëÅ‚ öÅ‚
1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Dla powierzchni danej jako Åš(x, y) = (x, y, f (x, y)) mamy Åš'= 0 1
ìÅ‚ ÷Å‚,
ìÅ‚
fx fy ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 0 1 1 0 0
ëÅ‚ öÅ‚
1 0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚,
u = Åš 'e1 = 0 1 = 0 v = Åš'e2 = 0 1 = 1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
fx fy ÷Å‚íÅ‚0Å‚Å‚ ìÅ‚ fx Å‚Å‚ fx fy ÷Å‚íÅ‚1Å‚Å‚ ìÅ‚ fy ÷Å‚
íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
20
Orientacja
Rozważmy bazy w przestrzeni Rk : (v1,...,vk ) oraz (w1,..., wk ). Bazy te powiazane są
n
przeksztalceniem liniowym wi =
"a vj , przy czym musi zachodzić warunek a `" 0 aby
ij
j=1
zachować liniową niezależnosć. Jeżeli a > 0, to mówimy, że bazy są zgodnie zorintowane,
a gdy a < 0, to mówimy, że są zorientowane przeciwnie.
Dla k = 1 mamy jednÄ… bazÄ™ jednoelementowÄ… v1 =1 i drugÄ… w1 = -1.
1 0 0 -1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Dla k = 2 przykladowe bazy v1 = = i baza w1 = sÄ…
ìÅ‚0÷Å‚,v2 ìÅ‚1÷Å‚ ìÅ‚1÷Å‚, w2 = ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 1
ëÅ‚ öÅ‚
powiÄ…zane przeksztaceniem o macierzy a = , zatem a =1 > 0 i bazy sÄ…
ìÅ‚
-1 0÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
zorientowane zgodnie, natomiast dla bazy u1 = =
ìÅ‚1÷Å‚,u2 ìÅ‚0÷Å‚, a = ìÅ‚1 0÷Å‚, a = -1< 0,
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
więc ta baza jest zorientowana przeciwnie do poprzednich. Orientację bazy kanonicznej
nazywamy prawoskretnÄ… (zorientowanÄ… dodatnio).
21
Wektor normalny
Niech M będzie powierzchnią dwuwymiarową w R3, Tx plaszczyzną styczną do M
w punkcie x, a wektory (u,v) bazÄ… na plaszczyz
nie stycznej. Wektor normalny definiujemy
u × v
jako n = . Wektor ten wskazuje zewnętrzną (wewnętrzna) stronę powierzchni
u × v
orientowalnej jesli baza jest prawoskrętna (lewoskrętna).
c. d. przykladu:
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 u2v3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ - u3v2
öÅ‚ ëÅ‚ - fx
öÅ‚ ëÅ‚ - fx
öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚, ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
- fy
u = 0 v = 1 u ×v = u3v1 - u1v3 ÷Å‚ = - fy ÷Å‚, n =
ìÅ‚ ÷Å‚,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
fx2 + fy2 +1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
fx fy u1v2 - u2v1 ÷Å‚ ìÅ‚ 1 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
x
ëÅ‚ öÅ‚
x y 1
ìÅ‚ ÷Å‚
Dla górnej pólsfery f = R2 - x2 - y2 = z, fx = - , fy = - , n = y
z z
x2 + y2 + z2 ìÅ‚ z ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla dolnej pólsfery f = - R2 - x2 - y2 = z wynik taki sam (jeż!)
22
Nieco inne wyprowadzenie:
r
r
Ć
Ć
a × b= - ifxdxdy - 5
fydxdy + kdxdy
= (- fx,- fy,1)dxdy
Po znormalizowaniu
r
r
r a × b 1
n = r = (- fx,- fy,1)
r
a × b
1+ fx2 + fy 2
23
Powierzchnie orientowalne (mają stronę wewnętrzną i zewnętrzną)
i nieorientowalne (nie można wyznaczyć strony)
WstÄ™ga Möbiusa Butelka Kleina
24
(M.C Escher)
t t t
x = (R + s cos )cost, y = (R + s cos )sin t, z = s sin
2 2 2
t "[0, 2Ä„ ), s "[-w, w]
25
Całka krzywoliniowa zorientowana
F = (F1, F2,..., Fk ), C - krzywa gladka
IC = F1dx1 + F2dx2 + ...+ Fkdxk = F Å" dx
+" +"
C C
IC +C2 = IC + IC , I-C = -IC
1 1 2
Tw. Calka IC nie zależy od parametryzacji krzywej
b
dy
D: y(t) = x(Õ(t)) Ò! F(y) Å"dy = F(y(t)) Å" dt =
+" +"
dt
C a
²
b
dx(Õ) dÕ dx(Õ)
= F(x(Õ(t)))Å" dt = F(x(Õ))Å" dÕ = F(x) Å"dx
+" +" +"
dÕ dt dÕ
a Ä… C
(w konkretnej parametryzacji staje siÄ™ zwyklÄ… calkÄ… Riemanna)
Przyklad: C : x(Ć) = cosĆ, y(Ć) = sinĆ, Ć "[0,Ą ] (pólokrąg o promieniu jednostkowym)
Ä„
x2dx + (x - y)dy = [cos2 Ć d(cosĆ) + cos2 Ć dĆ - sinĆ d(sinĆ)] =
+" +"
C Ć =0
Ä„ Ä„
cos3 Ć Ą sin2 Ć 2 Ą
= + - = - +
3 2 3 3 2 26
0 0
Całka krzywoliniowa niezorientowana
2 2
b
dx1 dxk
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
JC = f ds = f (x(t)) +...+ dt
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
C a
JC = J-C
Tw. ZwiÄ…zek z calkÄ… zorientowanÄ…:
F Å"dx = Fsds, Fs = F12 +...+ Fk 2 cosÄ…, Ä… - kÄ…t miedzy dx i F
+" +"
C C
Zastosowanie (fizyka): praca W = Fsds = Fxdx + Fydy + Fzdz
+" +"
C C
Ä„
C : x = a cosĆ, y = bsinĆ, Ć "[0, ]- ćwiartka elipsy
2
-kx
ëÅ‚ öÅ‚
F = - sprężyna zamocowana w srodku
ìÅ‚ ÷Å‚
-ky
íÅ‚ Å‚Å‚
dx = a sinĆdĆ, dy = -b cosĆdĆ, Fxdx + Fydy = -k(a2 - b2)sinĆ cosĆdĆ
Ä„ / 2
k
W = -k(a2 - b2) cosĆd(cosĆ) = (a2 - b2)
+"
2
27
0
Tw. Greena
Krzywą zamkniętą nazywamy konturem. Nich kontur C będzie brzegiem
zbioru D. Kontur jest zorientowany dodatnio jeśli okala zbiór D w taki
sposób, że D znajduje się  po lewej stronie .
Zbiór normalny D względem osi Ox to zbiór dający się zapisać jako
D = {(x, y) : f1(x) d" y d" f2(x), x "[a,b]}, f1, f2 :[a,b] R
Zbiór normalny D względem osi Oy to zbiór dający się zapisać jako
D = {(x, y) : g1(y) d" x d" g2(y), x "[c, d]}, g1, g2 :[c, d] R
Tw. Greena
D - zbiór normalny ze względu na Ox i Oy,C = "D - jego brzeg zorientowany dodatnio
ëÅ‚ "Q "P öÅ‚
Wtedy Pdx + Qdy =
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"+"íÅ‚ "x - "y Å‚Å‚ dxdy.
"D D
f2 ( x)
b b
"P "P
D: dxdy = dy = Pdx - Pdx =
+"+" +"dx +" +"dx[P(x, f2(x)) - P(x, f1(x))] = +" +"
"y "y
D a f1( x) a C2 C1
= - Pdx - Pdx = - Pdx
+" +" +"
-C2 C1 "D
g2 ( y)
d d
"Q "Q
dxdy = dx = Qdy - Qdy = Qdy
2
+"+" +"dy +" +"dt[Q(g ( y), y) - Q(g1(y), y)] =+" +" +"
"x "x
28
D c g1 ( y) c K2 -K1 "D
29
Pole potencjalne
V (x, y) - potencjal
"V "V "V "V "Fx "Fy
Fx = - , Fy = - , = Ò! =
"x "y "x"y "y"x "y "x
"Fy "Fx
ëÅ‚ öÅ‚
Fxdx + Fydy = Fxdx + Fydy = Fxdx + Fydy (rys.)
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"+"íÅ‚ "x - "y Å‚Å‚ dxdy = 0 Ò!+" +"
C D K1 K2
(Praca w polu potencjalnym nie zależy od drogi - można wprowadzić energię
potencjalną. W poprzednim przykladzie z pracą na ćwiartce elipsy wynik jest
wtedy natychmiastowy: W = V2 -V1)
(w powyższym wzorze zauważamy rot grad V = 0)
( )
z
30
Całka powierzchniowa niezorientowana
(wspólrzędne kartezjańskie)
Plat regularny S = {(x, y, z) : z = f (x, y),(x, y)" D}
Element powierzchni : dS = 1+ fx2 + fy2 dxdy
Pole powierzchni plata regularnego: | S |= 1+ fx2 + fy2 dxdy
+"+"
D
Calka powierzchniowa niezorientowana:
g(x, y, z)dS = g(x, y, f (x, y) 1+ fx2 + fy2 dxdy
+"+" +"+"
S D
(wspólrzędne krzywoliniowe)
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v)" D
2 2
g(x, y, z)dS = g(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) J12 + J2 + J3 dudv
+"+" +"+"
S D
"(y, z) "(x, z) "(x, y)
J1 = , J2 = , J3 =
"(u,v) "(u,v) "(u,v)
31
Przyklad (wspólrzędne kuliste)
x = r sin¸ cosĆ, y = r sin¸ sinĆ, z = r cos¸
r cos¸ sinĆ r sin¸ cosĆ
J1 = = r2 sin2 ¸ cosĆ
-r sin¸ 0
r cos¸ cosĆ -r sin¸ sinĆ
J2 = = -r2 sin2 ¸ sinĆ
-r sin¸ 0
r cos¸ cosĆ -r sin¸ sinĆ
J3 = = r2 sin¸ cos¸
r cos¸ sinĆ r sin¸ cosĆ
2 2
Ò! J12 + J2 + J3 = r2 sin¸
32
Całka powierzchniowa zorientowana
F : S R3 - pole wektorowe
S - plat regularny
n - zewnętrzny wektor normalny
Calka powierzchniowa zorientowana pola F lub strumień pola F:
I = F(x, y, z)Å" n(x, y, z)dS - strumieÅ„
+"+"
S
Niech F = (F1, F2, F3). Wtedy oznaczamy I = F1dydz + F2dxdz + F3dxdy
+"+"
S
1
Jeżeli S dana jest równaniem z = f (x, y), to n = (- fx,- fy,1)
1+ fx2 + fy2
-F1 fx - F2 fy + F3
I = dS =
1
+"+" +"+"(-F fx - F2 fy + F3)dxdy
1+ fx2 + fy2
S D
33
Tw. Gaussa (Ostrogradskiego-Gaussa)
F Å" n dS
+"+"+"divF dxdydz = +"+"
V S
Slownie: calka po objętosci V z dywergencji z pola F równa się strumieniowi
wyplywajÄ…cemu przez powierzchnie S ograniczajÄ…cÄ… V
ëÅ‚ "F1 "F2 "F3 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚dxdydz = F1dydz + F2dxdz + F3dxdy
+"+"+"íÅ‚ dx + dy + dz Å‚Å‚ +"+"
V S
D: Niech V będzie obszarem normalnym względem plaszczyzny Oxy, ograniczonym
funkcjami g(x, y) i d(x, y). Wtedy
g ( x, y)
ëÅ‚
"F3 "F3 öÅ‚
I3 = dxdydz = dz
÷Å‚
)
+"+"+" +"+"ìÅ‚ +" +"+"(F
ìÅ‚ ÷Å‚dxdy = D 3(x, y, g(x, y)) - F3(x, y, d(x, y)) dxdy
dz dz
V D d ( x, y)
íÅ‚ Å‚Å‚
Oznaczmy S = S1 + S2, gdzie S1 dana jest przez z = g(x, y) a S2 przez z = d(x, y).
I3 ' = F3dxdy = F3dxdy - (-) F3dxdy = F3(x, y, g(x, y))dxdy - F3(x, y, d(x, y))dxdy
+"+" +"+" +"+" +"+" +"+"
S S1 S2 D D
Znak (-) wynika z przeciwnej orientacji S2. Zatem I3 = I3 '. Podobnie pokazujemy, że
I1 = I1 ' oraz I2 = I2 '. Jeżeli V nie jest normalny, to dzielimy go na podzbiory normalne.
34
Tw. Stokesa
Tw. Niech K będzie regularnym konturem bedącym brzegiem plata regularnego S.
Orientacje K i S sÄ… zgodne. Niech Fi majÄ… ciÄ…gle pochodne. Wtedy
F Å" dl =
+" +"+"rotF Å" n dS
K S
Cyrkulacja pola F po krzywej zamkniętej K jest równa calce zorientowanej
z rotacji pola F po placie S.
Inna notacja:
ëÅ‚ "F3 "F2 "F1 "F3 ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚
"F2 "F1
ëÅ‚ öÅ‚
F1dx + F2dy + F3dz =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"+"íÅ‚ "y - "z Å‚Å‚ dydz + íÅ‚ "z - "x Å‚Å‚ dzdx + íÅ‚ "x - "y Å‚Å‚ dxdy
K S
35
Formy różniczkowe (*)
Różniczka zewnętrzna stopnia p :
a(x1,..., xn ) dxi '" dxi '"...'" dxi , 1 d" p d" n, wszystkie ik różne
1 2 p
dxi '" dxj = -dxj '" dxi Ò! dxi '" dxi = 0
Suma różniczek tego samego stopnia: forma różniczkowa zewnętrzna
Ä… = ai ...ip (x1,..., xn ) dxi '" dxi '"...'" dxi
"
1 1 2 p
i1...ip
Przyklady: Pdx + Qdy, Pdy '" dz + Qdz '" dx + Rdx '" dy, A dx '" dy '" dz
Dodawanie analogiczne do dodawania wielomianów.
Mnożenie: Ä… '" ² = ai ...ipbj ... jq dxi '"...'" dxi dxj '"...'" dxj = (-1)p+q ² '"Ä…
"
1 1 1 p 1 q
i1...ip
j1... jq
"ai ...ip "ai ...ip
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
Różniczkowanie: dÄ… = dx1 + ...+ dxn ÷Å‚ '" dxi '"...'" dxi
ìÅ‚
"
1 p
ìÅ‚ ÷Å‚
"x1 "xn
i1...ip
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"P "Q "Q "P
d(Pdx + Qdy) = dy '" dx + dx '" dy = - dx '" dy
ìÅ‚ ÷Å‚
"y "x "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
d(Pdy '" dz + Qdz '" dx + Rdx '" dy) = (Px + Qy + Rz )dx '" dy '" dz
36
"ai ...ip "ai ...ip
1 1
= Ò! d(da) = 0
"xk"xl "xl"xk
ą jest formą zupelną, jeżeli "ł :ą = dł , ą jest formą zamknietą, jeżeli dą = 0
Zamiana zmiennych x t:
"(xi ,..., xi )
1 p
a = ai ...ip (x1,..., xn )
dt1 '"...'" dtp
"
1
"(t1,...,tp )
i1...ip
Calkowanie po hiperpowierzchni V:
A(t)dt1 '"...'" dtp = A(t)dt1...dtp (zwykla calka Riemanna)
+"a = +" +"
V D D
Ogólne Tw. Stokesa: V - hiperpowierzchnia zorientowana, "V - jej brzeg
Jeżeli wspólczynniki formy a = ai ...ip-1 (x) dxi '"...'" dxi są klasy C1 na V + "V ,
"
1 1 p-1
i1...ip-1
to a =
+" +"da
"V V
Przyklady: Tw. Greena, Gaussa, Stokesa, także f (x)dx = F(b) - F(a), bo
+"
[a,b]
dF(x)
dF(x) = dx = f (x)dx, "V = {a,b}
dx
37
Równania różniczkowe
38
Definicje, klasyfikacja
Równanie różniczkowe zwyczajne ma ogólną postać F(x, y(x), y '(x),...) = 0, gdzie ...
oznaczają możliwosć wystąpienia wyższych pochodnych. Zmienna x jest zmienną
niezależną, a y(x) jest szukaną funkcją. Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej.
W szczególnosci, równanie różniczkowe rzędu pierwszego ma postać F(x, y, y ') = 0.
Równanie różniczkowe cząstkowe ma ogólną postać
"y(x1,..., xn) "y(x1,..., xn)
F(x1, x2,..., xn, y(x1,..., xn ), ,..., ,...) = 0
"x1 "xn
(równaniami cząstkowymi nie bedziemy się zajmować)
Uklad równań różniczkowych zwyczajnych na n funkcji yi(x) ma postać
Fi(x, y1(x),..., yn(x), y1 '(x),..., yn '(x),...) = 0, i = 1,...,n
Model fizyczny/ekonomiczny/meteorologiczny... r. różniczkowe
39
Przykład: oscylator harmoniczny
F(t, x(t), x(t), x(t)) = 0 - r. mechaniki
f = ma - prawo Newtona
k
-kx(t) = mx(t), k, m > 0, = É2 - oscylator harmoniczny
m
x(t) = -É2x(t) - r. różniczkowe do rozwiÄ…zania
x(t) = Acos(Ét) + Bsin(Ét) - ogólna postać rozwiÄ…zania
Sprawdzenie: x(t) = -AÉ sin(Ét) + BÉ cos(Ét), x(t) = -É2x(t)
Warunki poczÄ…tkowe: x(t) = x0, x(t) = v0 A = x0, BÉ = v0
v0
x(t) = x0 cos(Ét) + sin(Ét) - rozwiÄ…zanie spelniajÄ…ce war. poczÄ…tkowe
É
40
Przykład: rozpad promieniotwórczy /
wzrost populacji
dN (t)
= -N (t),  > 0
dt
(ubytek na jedn. czasu proporcjonalny do liczby atomów)
Rozw.: N (t) = N0 exp(-t) - liczba nierozpadlych atomów po czasie t
 -
N (t) = N0 exp(t) - populacja w czasie t, prawo wzrostu Malthusa
Bardziej realistyczne równanie:
dN (t)
= N (t)[1- N (t) / N*],
dt
*
x = N / N x = x(1- x)
(nieliniowosć!)
41
Rozwiązanie równania populacji ( = 1):
dx dx x x
= x(1- x) Ò! =
+" +"dt Ò! ln x -1 = t + C Ò! x -1 = exp(t + C) Ò!
dt x(1- x)
1 1 1
1- = exp(-C)exp(-t) Ò! 1- = C 'exp(-t) Ò! x(t) =
x x 1- C 'exp(-t)
1 1
war. poczÄ…tkowy: x(t0 = 0) = x0 Ò! 1- = C ' Ò! x(t) =
1- x0
x0
1+ exp(-t)
x0
ëÅ‚ öÅ‚
1- x0 x0 x0
1+ exp(-t) `" 0 Ò! exp(-t) `" Ò! t `" - ln
ìÅ‚ ÷Å‚, x0 "(-",0) *" (1,")
x0 x0 -1 x0 -1Å‚Å‚
íÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
x0
(w t = - ln osobliwosć)
ìÅ‚
x0 -1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
x0 = 0 Ò! x(t) = 0
"x0 `" 0 : limt" x(t) = 1
42
Ogólne uwagi i twierdzenia
RozwiÄ…zanie y(x) r.r. nazywamy calkÄ… r.r., a wykres (x, y(x)) krzywÄ… calkowÄ….
Calka ogólna równania rzędu pierwszego jest postaci y(x) = f (x,C), gdzie C
jest stalÄ…. StalÄ… tÄ™ wyznacza siÄ™ z warunku poczatkowego y0 = f (x0,C).
Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać z postaci f (x,C)
dla żadnej wartosci C.
y '
Przyklad: y ' = 2 y Ò! = 1 Ò! y ' = 1 Ò! y = x + C, x + C e" 0
( )
2 y
Å„Å‚
(x + C)2, x e" -C
y(x) =
òÅ‚
ół0, x < -C
y(x) = 0 - rozw. osobliwe
43
Jednoznaczność rozwiązań
Tw. (o jednoznacznosci rozwiązań) R. postaci y ' = f (x, y),
f (x, y) i fy(x, y) ciagle w pewnym otoczeniu (x0, y0) Ò!
" otoczenie (x0 - a, x0 + a), w którym jest okreslona dokladnie
jedna funkcja Ć(x) o wlasnociach: Ć '(x) = f (x,Ć(x)), Ć(x0) = y0.
44
Równanie o zmiennych rozdzielonych
dy
p( y) y '(x) = q(x) Ò! p( y) = q(x) Ò! p( y)dy = q(x)dx Ò! p( y)dy =
+" +"q(x)dx
dx
P( y) = p( y)dy, Q(x) =
+" +"q(x)dx, P( y) = Q(x) + C, C - pewna stala
RozwiÄ…zanie jest dane w postaci uwiklanej!
d dy d d
D: P( y(x)) - Q(x) - C = P( y) - Q(x) = y ' p( y) - q(x) = 0
( )
dx dx dy dx
Przyklad:
dy(t) y3 t2 3
3
y2 = t Ò! y2dy = tdt Ò! = + C Ò! y = t2 + 3C
dt 3 2 2
3
3
C ' = 3C, y = t2 + C '
2
3 2
y0 t0 C ' 3
2 3
3
Warunek poczÄ…tkowy: y(t0) = y0 Ò! = + Ò! y = (t2 - t0 ) + y0
3 2 3 2
Z nieskończonej liczby rozwiązań z parametrem C warunek początkowy wybiera jedno!
45
Rozwiązanie równania populacji ( = 1):
dx dx x x
= x(1- x) Ò! =
+" +"dt Ò! ln x -1 = t + C Ò! x -1 = exp(t + C) Ò!
dt x(1- x)
1 1 1
1- = exp(-C)exp(-t) Ò! 1- = C 'exp(-t) Ò! x(t) =
x x 1- C 'exp(-t)
1 1
war. poczÄ…tkowy: x(t0 = 0) = x0 Ò! 1- = C ' Ò! x(t) =
1- x0
x0
1+ exp(-t)
x0
ëÅ‚ öÅ‚
1- x0 x0 x0
1+ exp(-t) `" 0 Ò! exp(-t) `" Ò! t `" - ln
ìÅ‚ ÷Å‚, x0 "(-",0) *" (1,")
x0 x0 -1 x0 -1Å‚Å‚
íÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
x0
(w t = - ln osobliwosć)
ìÅ‚
x0 -1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
x0 = 0 Ò! x(t) = 0
"x0 `" 0 : limt" x(t) = 1
46
Jednoparametrowe rodziny
krzywych
R. populacji
x = x(1- x)
1
x(t) =
1- x0
1+ exp(-t)
x0
Inne równanie
y2 y = t
3t2
3
3
y(t) = + y0
2
47
Równania sprowadzalne do równania
o zmiennych rozdzielonych
R. jednorodne w x i y :
y ' = f (ax + by + c)
u = ax + by + c
y
ëÅ‚ öÅ‚
y '(x) = f
ìÅ‚ ÷Å‚
u ' = a + by ' = a + bf (u) x
íÅ‚ Å‚Å‚
u '
y
= 1
u(x) = , y = ux, y ' = u ' x + u
a + bf (u)
x
u ' x + u = f (u)
u ' 1
= , f (u) `" u, x `" 0
f (u) - u x
48
CiÄ…g dalszy z notatek ...
49