3307665870

Skąd wyraźnie widać przewagę wariancji nad wartością oczekiwaną Var[N] = A + A¹Uar[0] > X = E[N)

Twierdzenie 2 (Nierówność Jensena)

Niech g będzie funkcją wypukłą, a X całkowalną zmienną losową taką, że E\g(X)\ < oo. Wówczas

g(EX) < E\g(X)].

Korzystając z powyższej nierówności otrzymujemy

P\N = 0] = £° exp(-A0)dFe(6) > exp (- jf“ A0dF9(0)) = exp(-A) = P[Y = 0], gdzie zmienna losowa Y ma rozkład Poissona z parametrem A.

Powyższa nierówność ilustruje drugą ważną cechę mieszanego rozkładu Poissona - większą w porównaniu do tradycyjnego rozkładu Poissona koncentrację w zerze. Taka sytuacja również znajduje swoje odniesie do rzeczywistości, gdyż drobne szkody zwykle nie są zgłaszane do zakładu ubezpieczeń. Jest to spowodowane powszechnie przyjętą polityką zniżek Bonus-malus, zgodnie z którą kierowcy charakteryzujący się niższą szkodowością płacą niższe składki. Nie opłaca się zatem zgłaszać małych szkód, których koszt pokrycia z własnych środków sprawcy byłby niższy od sumarycznej kwoty utraconych w kolejnych latach zniżek.

Występowanie w obu opisanych w tym rozdziale rozkładów cechy nadrozproszenia nasuwa pytanie, czy uogólniony rozkład Poissona jest szczególnym przypadkiem mieszanego rozkładu Poissona z konkretną funkcją randomizującą 0. Okazuje się, że jest prawda, o czym stanowi poniższe twierdzenie. ²

Twierdzenie 3 (Joe - Zhu)

Uogólniony rozkład Poissona dany wzorem (10) jest mieszanym rozkładem Poissona.

19

1

property of Mbcture of Poisson and Comparison with Negative Binomial Distribution” autorstwa H. Joe, R. Zhu z 2005 roku.

2

Opis tego twierdzenia wraz z dowodem można znaleźć w pracy „Generalized Poisson Distribution: the