ÿþC A AK I P O T R Ó J N E
C A AK I P O D W Ó J N E P O P R O S T O K C I E
D e f i n i c j a 1 ( p o d z i a B p r o s t o p a d Bo [c i a n u )
P o d z i a Be m p r o s t o p a d Bo [c i a n u P = { ( x , y , z ) : a d" x d" b ,
c d" y d" d , p d" z d" q } n a z y w a m y z b i ó r p r o s t o p a d Bo [c i a n ó w
P 1 , P 2 , . . . , P n , k t ó r e c a Bk o w i c i e w y p e Bn i a j p r o s t o p a d Bo [c i a n P
i m a j p a r a m i r o z Bc z n e w n t r z a .
O z n a c z e n i a :
"x k , "y k , "z k w y m i a r y p r o s t o p a d Bo [c i a n u P k , g d z i e 1 d" k d" n .
"( ) = m a x { ( "x k ) 2 + ( "y k ) 2 + ( "z k ) 2 : 1 d" k d" n } [r e d n i c a
p o d z i a Bu .
C A AK A P O T R Ó J N A 2 / 2 6
D e f i n i c j a 2 ( s u m a c a Bk o w a f u n k c j i p o p r o s t o p a d Bo [c i a n i e )
N i e c h f u n k c j a f b d z i e o g r a n i c z o n a n a p r o s t o p a d Bo [c i a n i e P
o r a z n i e c h b d z i e p o d z i a Be m t e g o p r o s t o p a d Bo [c i a n u ,
* * * * * * * * *
a ž = { ( x 1 , y 1 , z 1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) , . . . , ( x n , y n , z n ) , } z b i o r e m p u n k t ó w
p o [r e d n i c h .
S u m c a Bk o w f u n k c j i f o d p o w i a d a j c p o d z i a Bo w i o r a z
p u n k t o m p o [r e d n i m ž n a z y w a m y l i c z b
n
* * *
f ( x k , y k , z k ) ( "x k ) ( "y k ) ( "z k ) .
"
k = 1
C A AK A P O T R Ó J N A 3 / 2 6
D e f i n i c j a 3 ( c a Bk a p o t r ó j n a p o p r o s t o p a d Bo [c i a n i e )
N i e c h f u n k c j a f b d z i e o g r a n i c z o n a n a p r o s t o p a d Bo [c i a n i e P .
C a Bk p o t r ó j n z f u n k c j i f p o p r o s t o p a d Bo [c i a n i e P o z n a c z o n
s y m b o l e m f ( x , y , z ) d V d e f i n i u j e m y w z o r e m :
+"+"+"
P
n
* * *
f ( x , y , z ) d x d y d z = l i m f ( x k , y k , z k ) ( "x k ) ( "y k ) ( "z k ) ,
"
+"+"+"
"( ) ’!0
k = 1
P
o i l e g r a n i c a j e s t w Ba [c i w a i n i e z a l e \y o d s p o s o b u p o d z i a Bu
p r o s t o p a d Bo [c i a n u a n i o d s p o s o b ó w w y b o r u p u n k t ó w p o [r e d n i c h .
M ó w i m y w t e d y , \e f j e s t c a Bk o w a l n a n a p r o s t o p a d Bo [c i a n i e P .
F a k t 1
F u n k c j a c i g Ba n a p r o s t o p a d Bo [c i a n i e j e s t n a n i m c a Bk o w a l n a .
C A AK A P O T R Ó J N A 4 / 2 6
T w i e r d z e n i e 1 ( l i n i o w o [ c a Bk i )
N i e c h f i g b d c a Bk o w a l n e n a p r o s t o p a d Bo [c i a n i e P o r a z n i e c h
±, ² b d l i c z b a m i r z e c z y w i s t y m i . W t e d y
f ( x , y , z ) d V + ²
+"+"+"( ±f ( x , y , z ) + ²g ( x , y , z ) ) d V = ±+"+"+" +"+"+"g ( x , y , z ) d V
P P P
.
T w i e r d z e n i e 2 ( a d d y t y w n o [ c a Bk i w z g l d e m o b s z a r u c a Bk o w a n i a )
J e \e l i f u n k c j a f j e s t c a Bk o w a l n a n a p r o s t o p a d Bo [c i a n i e P , t o d l a
d o w o l n e g o p o d z i a Bu t e g o p r o s t o p a d Bo [c i a n u n a p r o s t o p a d Bo [c i a n y
P 1 , P 2 o r o z Bc z n y c h w n t r z a c h z a c h o d z i
f ( x , y , z ) d V = f ( x , y , z ) d V + f ( x , y , z ) d V .
+"+"+" +"+"+" +"+"+"
P P 1 P 2
C A AK A P O T R Ó J N A 5 / 2 6
T w i e r d z e n i e 3 ( o z a m i a n i e c a Bk i p o t r ó j n e j n a c a Bk i t e r o w a n )
J e \e l i f u n k c j a f j e s t c i g Ba n a p r o s t o p a d Bo [c i a n i e
[ a , b ] × [ c , d ] × [ p , q ] , t o
b
ñød üø
îøq ùø
ôø
ïø úø
f ( x , y , z ) d x d y d z = f ( x , y , z ) d z d y ôød x .
òø ýø
+"+"+" +" +" +"
úø
ôøc ïøp ôø
[ a , b ] × [ c , d ] × [ p , q ] a
ðø ûø
óø þø
U w a g a 1
I l e m o \e b y r o d z a j ó w c a Be k i t e r o w a n y c h ?
C A AK A P O T R Ó J N A 6 / 2 6
U w a g a 2
Z a m i a s t
b
ñød üø
îøq ùø
ôø
úø
f ( x , y , z ) d z d y ôød x
òø ýø
+" +"ïø+"
úø
ôøc ïøp ôø
a
ðø ûø
óø þø
p i s z e m y r ó w n i e \
q
b d
f ( x , y , z ) d z .
+"d x +"d y +"
a c p
C A AK A P O T R Ó J N A 7 / 2 6
P r z y k Ba d 1
O b l i c z y c a Bk i i t e r o w a n e :
1 1 2 2 3 4
1
1 ) d z .
+"d x +"d y +"( x 2 + y 2 + z 2 ) d z , 2 ) +"d x +"d y +"
x y z
- 1 0 0 1 2 3
O b l i c z y c a Bk i p o t r ó j n e :
1 )
+"+"+"( 2 x - y + 3 z ) d x d y d z , P = [ - 1 , 1 ] × [ 0 , 1 ] × [ 2 , 4 ] ,
P
1 ùø
2 )
+"+"+"z x s i n x y d x d y d z , P = îø1 , 2 úø × [ 0 , À ] × [ 0 , 1 ] .
ïø3 ûø
ðø
P
C A AK A P O T R Ó J N A 8 / 2 6
T w i e r d z e n i e 4 ( c a Bk a p o t r ó j n a z f u n k c j i o r o z d z i e l o n y c h z m i e n n y c h )
J e \e l i f u n k c j a f j e s t f u n k c j p o s t a c i f ( x , y , z ) = g ( x ) h ( y ) k ( z ) ,
g d z i e f u n k c j e g , h i k s c i g Be o d p o w i e d n i o n a p r z e d z i a Ba c h [ a , b ] ,
[ c , d ] i [ p , q ] , t o
q
b
ëø öø
ëø öø ëød öø
ìø
f ( x , y , z ) d x d y d z = g ( x ) d x ÷ø Å"ìø
+"+"+" +" +"h ( y ) d y ÷ø Å"ìø+"k ( z ) d z ÷ø .
ìø ÷ø ìø ÷ø
ìø ÷ø
[ a , b ] × [ c , d ] × [ p , q ] íø øø íø øø
a c p
íø øø
C A AK A P O T R Ó J N A 9 / 2 6
P r z y k Ba d 2
P o d a n e c a Bk i z a m i e n i n a s u m y i i l o c z y n y c a Be k p o j e d y n c z y c h :
îø0 , À ùø,
1 ) y x 2 s i n z d x d y d z , P = [ 0 , 1 ] × [ - 1 , 1 ] ×
+"+"+"
ïø úø
2
ðø ûø
P
2 )
+"+"+"e 2 z + y - x d x d y d z , P = [ 0 , l n 2 ] × [ 0 , l n 3 ] × [ 0 , 1 ] .
P
C A AK A P O T R Ó J N A 1 0 / 2 6
C A AK I P O T R Ó J N E P O O B S Z A R A C H N O R M A L N Y C H
D e f i n i c j a 4 ( o b s z a r y n o r m a l n e w z g l d e m p Ba s z c z y z n u k Ba d u )
1 . O b s z a r d o m k n i t y V n a z y w a m y o b s z a r e m n o r m a l n y m
w z g l d e m p Ba s z c z y z n y x O y , j e \e l i
V = { ( x , y , z ) : ( x , y ) " D x y , g ( x , y ) d" z d" h ( x , y ) } ,
g d z i e D x y j e s t r z u t e m o b s z a r u V n a p Ba s z c z y z n x O y o r a z j e s t
o b s z a r e m n o r m a l n y m n a t e j p Ba s z c z y zn i e , a f u n k c j e g i h s
c i g Be n a D x y , p r z y c z y m g ( x , y ) < h ( x , y ) d l a p u n k t ó w
n a l e \c y c h d o o b s z a r u D x y .
O b s z a r y n o r m a l n e w z g l d e m p Ba s z c z y z n x o z i y O z d e f i n i u j e s i
p o d o b n i e .
C A AK A P O T R Ó J N A 1 1 / 2 6
P r z y k Ba d 3
O b s z a r y o g r a n i c z o n e p o d a n y m i p o w i e r z c h n i a m i z a p i s a j a k o
o b s z a r y n o r m a l n e w z g l d e m p o d a n y c h p Ba s z c z y z n .
1 ) x + y + z = 4 , x 2 + y 2 = 1 , z = 0 , x O y ,
2 ) y 2 + z 2 = 4 x , x = 4 , y O z ,
3 ) y = x 2 , x = y 2 , z = x y , z = 0 , x O y ,
4 ) x + y = 1 , y = 1 - z 2 , y = 0 , x = 1 , z O x .
C A AK A P O T R Ó J N A 1 2 / 2 6
T w i e r d z e n i e 5 ( o b l i c z a n i e c a Bk i p o o b s z a r a c h n o r m a l n y c h )
1 . J e \e l i f u n k c j a f j e s t c i g Ba n a o b s z a r z e d o m k n i t y m
V = { ( x , y , z ) : ( x , y ) " D x y , g ( x , y ) d" z d" h ( x , y ) }
n o r m a l n y m w z g l d e m p Ba s z c z y z n y x O y , t o
h ( x , y )
ëø öø
ìø
f ( x , y , z ) d x d y d z = f ( x , y , z ) d z ÷ød x d y .
+"+"+" +"+" +"
ìø ÷ø
V D x y g ( x , y )
íø øø
W z o r y z c a Bk a m i i t e r o w a n y m i p o o b s z a r a c h n o r m a l n y c h
w z g l d e m p Ba s z c z y z n x o z i y O z s a n a l o g i c z n e .
C A AK A P O T R Ó J N A 1 3 / 2 6
P r z y k Ba d 4
O b l i c z y n a c a Bk i i t e r o w a n e ( n a r y s o w a o b s z a r c a Bk o w a n i a ) :
1 - x - y
1 1 - x
1 ) d y
+"d x +" +"( x + y + z ) 3 d z ,
0 0 0
x + y
À x
2 )
+"d x +"d y +"c o s ( y + z ) d z .
0 0 0
O b l i c z y c a Bk i p o t r ó j n e p o o b s z a r a c h o g r a n i c z o n y c h w s k a z a n y m i
p o w i e r z c h n i a m i :
1 ) x y d x d y d z , V : y = 0 , y = x , x = 9 - z 2 ,
+"+"+"
V
2 ) y d x d y d z , V : z = y , z = 0 , y = 1 - x 2 .
+"+"+"
V
C A AK A P O T R Ó J N A 1 4 / 2 6
D e f i n i c j a 5 ( o b s z a r r e g u l a r n y w p r z e s t r z e n i )
S u m s k o Dc z o n e j l i c z b y o b s z a r ó w n o r m a l n y c h w z g l d e m
p Ba s z c z y z n u k Ba d u o p a r a m i r o z Bc z n y c h w n t r z a c h n a z y w a m y
o b s z a r e m r e g u l a r n y m w p r z e s t r z e n i .
F a k t 2
N i e c h o b s z a r r e g u l a r n y V b d z i e s u m o b s z a r ó w n o r m a l n y c h
V 1 , V 2 , & , V n o r o z Bc z n y c h w n t r z a c h o r a z n i e c h f u n k c j a f
b d z i e c a Bk o w a l n a n a V . W t e d y :
f ( x , y , z ) d x d y d z = f ( x , y , z ) d x d y d z + f ( x , y , z ) d x d y d z +
+"+"+" +"+"+" +"+"+"
V V 1 V 2
+ K + f ( x , y , z ) d x d y d z .
+"+"+"
V n
C A AK A P O T R Ó J N A 1 5 / 2 6
Z A M I A N A Z M I E N N Y C H W C A AK A C H P O T R Ó J N Y C H
A n a l o g i c z n i e , j a k d l a c a Bk i p o d w ó j n e j . T y l k o w z o r y s c i e k a w s z e .
M o \n a z o b a c z y w :
M . G e w e r t , Z . S k o c z y l a s A n a l i z a m a t e m a t y c z n a 2 .
D e f i n i c j e , t w i e r d z e n i a , w z o r y ,
s t r . 1 3 8 - 1 3 9 .
C A AK A P O T R Ó J N A 1 6 / 2 6
D e f i n i c j a 8 ( w s p ó Br z d n e w a l c o w e )
P o Bo \e n i e p u n k t u P w p r z e s t r z e n i m o \n a o p i s a t r ó j k l i c z b
( Õ, r , h ) , g d z i e :
Õ o z n a c z a m i a r k t a m i d z y d o d a t n i c z [c i o s i O x a
r z u t e m p r o m i e n i a w o d z c e g o p u n k t u P n a p Ba s z c z y z n x O y ,
p r z y c z y m 0 d" Õ < 2 À a l b o - À < Õ d" À ,
r o z n a c z a o d l e g Bo [ r z u t u p u n k t u P n a p Ba s z c z y z n x O y o d
p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , p r z y c z y m 0 d" r < ",
h o z n a c z a o d l e g Bo [ p u n k t u P o d p Ba s z c z y z n y x O y , p r z y c z y m
- " < h < ", .
T r ó j k l i c z b ( Õ, r , h ) n a z y w a m y w s p ó Br z d n y m i w a l c o w y m i
p u n k t u p r z e s t r z e n i .
C A AK A P O T R Ó J N A 1 7 / 2 6
F a k t 4
W s p ó Br z d n e k a r t e z j a Ds k i e ( x , y , z ) p u n k t u p r z e s t r z e n i d a n e g o
w e w s p ó Br z d n y c h w a l c o w y c h ( Õ, r , h ) o k r e [l o n e s w z o r a m i :
ñøx = r c o s Õ
W : ôø y = r s i n Õ .
òø
ôøz = h
óø
J a k o b i a n p r z e k s z t a Bc e n i a w a l c o w e g o W w y n o s i r , t j .
J W ( Õ, r , h ) = r .
C A AK A P O T R Ó J N A 1 8 / 2 6
T w i e r d z e n i e 7 ( w s p ó Br z d n e w a l c o w e w c a Bc e p o t r ó j n e j )
N i e c h
1 . o b s z a r &! w e w s p ó Br z d n y c h w a l c o w y c h b d z i e n o r m a l n y ,
2 . f u n k c j a f b d z i e c i g Ba n a o b s z a r z e V , k t ó r y j e s t o b r a z e m
z b i o r u &! p r z y p r z e k s z t a Bc e n i u b i e g u n o w y m ; V = W ( &!) .
W t e d y
f ( x , y , z ) d x d y d z = f ( r c o s Õ, r s i n Õ, h ) r d h d r d Õ .
+"+"+" +"+"+"
V &!
C A AK A P O T R Ó J N A 1 9 / 2 6
P r z y k Ba d 7
W p r o w a d z a j c w s p ó Br z d n e w a l c o w e o b l i c z y c a Bk i :
1 ) x 2 d x d y d z , V : z = 9 - x 2 - y 2 , z = 0 ,
+"+"+"
V
2 ) ( x 2 + y 2 ) d x d y d z , V : z = 2 x 2 + y 2 , z = 8 ,
+"+"+"
V
3 )
+"+"+"z 2 d x d y d z , V : z = 8 - x 2 - y 2 , z = x 2 + y 2 .
V
C A AK A P O T R Ó J N A 2 0 / 2 6
D e f i n i c j a 9 ( w s p ó Br z d n e s f e r y c z n e )
P o Bo \e n i e p u n k t u P w p r z e s t r z e n i m o \n a o p i s a t r ó j k l i c z b
( Õ, È , r ) , g d z i e :
Õ o z n a c z a m i a r k t a m i d z y d o d a t n i c z [c i o s i O x a
r z u t e m p r o m i e n i a w o d z c e g o p u n k t u P n a p Ba s z c z y z n x O y ,
p r z y c z y m 0 d" Õ < 2 À a l b o - À < Õ d" À ,
È o z n a c z a m i a r k t a m i d z y p r o m i e n i e m w o d z c y m p u n k t u P ,
À À
a p Ba s z c z y z n x O y , p r z y c z y m - d"È d" ,
2 2
r o z n a c z a o d l e g Bo [ p u n k t u P o d p o c z t k u u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h , p r z y c z y m 0 d" r < ",
T r ó j k l i c z b ( Õ, È , r ) n a z y w a m y w s p ó Br z d n y m i s f e r y c z n y m i
p u n k t u p r z e s t r z e n i .
C A AK A P O T R Ó J N A 2 1 / 2 6
F a k t 4
W s p ó Br z d n e k a r t e z j a Ds k i e ( x , y , z ) p u n k t u p r z e s t r z e n i d a n e g o
w e w s p ó Br z d n y c h s f e r y c z n y c h ( Õ, È , r ) o k r e [l o n e s w z o r a m i :
ñøx = r c o s Õ c o s È
S : ôøy = r s i n Õ c o s È .
òø
ôøz = r s i n È
óø
J a k o b i a n p r z e k s z t a Bc e n i a s f e r y c z n y c h S w y n o s i r , t j .
J W ( Õ, r , h ) = r 2 c o s È .
C A AK A P O T R Ó J N A 2 2 / 2 6
T w i e r d z e n i e 7 ( w s p ó Br z d n e s f e r y c z n e w c a Bc e p o t r ó j n e j )
N i e c h
1 . o b s z a r &! w e w s p ó Br z d n y c h s f e r y c z n y c h b d z i e n o r m a l n y ,
2 . f u n k c j a f b d z i e c i g Ba n a o b s z a r z e V , k t ó r y j e s t o b r a z e m
z b i o r u &! p r z y p r z e k s z t a Bc e n i u s f e r y c z n y m ; V = S ( &!) .
W t e d y
f ( x , y , z ) d x d y d z =
+"+"+"
V
.
= f ( r c o s Õ c o s È , r s i n Õ c o s È , r s i n È ) r 2 c o s È d h d r d Õ
+"+"+"
&!
C A AK A P O T R Ó J N A 2 3 / 2 6
P r z y k Ba d 8
W p r o w a d z a j c w s p ó Br z d n e s f e r y c z n e o b l i c z y c a Bk i :
1 .
+"+"+"z 2 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z , V : z = 4 - x 2 - y 2 , z = 0 ,
V
2 . ( x 2 + y 2 ) d x d y d z , V : x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x 2 + y 2 + z 2 = 1 6 .
+"+"+"
V
C A AK A P O T R Ó J N A 2 4 / 2 6
Z A S T O S O W A N I A C A AE K P O T R Ó J N Y C H W G E O M E T R I I
O b j t o [ o b s z a r u V ‚" R 3 w y r a \a s i w z o r e m :
V =
+"+"+"d x d y d z .
V
P r z y k Ba d 8
O b l i c z y o b j t o [c i o b s z a r ó w o g r a n i c z o n y c h p o w i e r z c h n i a m i :
1 ) 3 x + 6 y + 4 z = 1 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0 ,
2 ) y 2 + z 2 = 1 , y = x , x = 0
C A AK A P O T R Ó J N A 2 5 / 2 6
Z A S T O S O W A N I A C A AE K P O T R Ó J N Y C H W F I Z Y C E
M a s a o b s z a r u
M o m e n t y s t a t y c z n e
W s p ó Br z d n e [r o d k a m a s y
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
N a t \e n i e p o l a e l e k t r y c z n e g o
S i Ba p r z y c i g a n i a g r a w i t a c y j n e g o
E n e r g i a k i n e t y c z n a
E n e r g i a p o t e n c j a l n a
&
C A AK A P O T R Ó J N A 2 6 / 2 6
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