2075

Przykład

Zbadać różniczkowalność funkcji /: R^: -> R^J,/(.r, y)= (.ry, x+y, x² + y²) w punkcie

(.xo, yo)={2, 1).

Wybieramy wektor /i=[/ii, //:] i obliczamy przyrost Af fluikcji/w pimkcie (to, yo)

A/ = /(•»o + h,, ,V₀ ^{+ l}h)~ /(-V .Vo)= /(2 + /<,, l + /»j)-/(2,1)=

= ((2 +/i,Xl +/*!X 3 + /I. + /I,, (2 + /i,)^! + (1 + /|j)^:)-(2,3,5) =

= (2/i; + /i|,/i|4/i,, 4/r, + 2/1,)+ (/1,/lj, 0, /|,^: + /|_:^:)

2/lj + /i, +    /i, + /ł, 4/i, + 2/i, + /l,^! + h₂

c/ę»c

liniowi

część ni dniowa

Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o(/j).

skorzystaliśmy z normy euklidesowej

liczymy granicę dla każdej składowej osobno

gdzie granicę pierwszej składowej

obliczyliśmy korzystając ze

współrzędnych biegunowych:

lim ^rC0S(P^,'^sin(f^> *-*©    r

= hm rcoscpsiiup = 0.

Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy o(h) => / e D(x₀,y₀) Część liniowa stanowi różniczkę, czyli

</₍₂ d/(/i, ,//,)=(//, + 2/i_:, /i, + /*2, 4/j, + 27*2) lub korzystąjacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego 1 2

<*a _nfM=

4 2