22885

1) Zbieżność punktowa:

f, -» f ^s f, (A f( z) ^s    = | f. (A ~ H z)| < ^

jeżeli definicja zachodzi V_zr-_ab- : f„—>f 2) Zbieżność jednostajna:

L « f =    : |f.( z) - f (z)| < e, V_sQ

Twierdzenia o zbieżności szeregów funkcyjnych na i są analogiczne do £ (wyjątkiem jest całkowanie). Twierdzenie C a uchy 'ego- II adamarda:

Szereg: £°.(    «lims_up»/|a„(₂)"| <. =* |z-z₀|< j—

- promień _ zbieznosc

^czy*‘ limsup(/o^

Jeżeli ^lim=>/?:= —-vR:= lim

li m _ⁿ/ Z7    i»~*“

Mm da

n-ł— ’    "

Wszystkie twierdzenia dla szeregów potęgowych w i zachodzą w £ .

4. Pojęcie funkcji analitycznej.

Funkcję f nazywamy analityczną / holomorficzną / regularną jeżeli:

/'Uo) ⁼ £^aB(^z-^zo)" gdzie a„ = —^,n = (0,l,...)

n!

5. Funkcja wykładnicza.

Funkcję zmiennej zespolonej f (z) = e^l, gdzie dla z = x + iy

nazywamy funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej.

= e*(cosy + i siny)

stąd^e* (^cos y⁺¹ sm y) ^ ^u(^x> y)⁼e*^cos y* ^v^^x» y)^=e*^{ł s}*ⁿ y

6. Funkcja logarytmiczna.

Lnz = w: e" = z: w = w, + iw₂, w,, w₂e i

e*⁹**⁹ =|z|e^,J*' <*e^Rtw=\z\oraz\mw = argz + 2nn,ne 4 =*

=> Re w = ln | z | oraz Im w = arg z + 2nx,ne 4 => ln- f.wielowartosciowa => => Lnz = \n |z|+/(argz + 2ntf),(n = 0,±l,±2,...)

7. Funkcje trygonometryczne.

sin z = £(-!)"-

e + e

n* (2n-l)!    2/    S3'    '    (2n)!

lim sin | z |-> +«o    siz\z\-f.nieograniczona

tgz =

i(e^a +e~")

ctgz = /

2