24410

Grupa ta jest nazywana grupą liniową macierzy n x n.

3.    Zbiór Sl„(/\) = {/I € M_n : det A =1} jest podgrupą grupy G\_n(K) (nazywaną specjalną grupą liniową).

4.    Oznaczmy przez S„ zbiór wszystkich perniutacji zbioru {1,2,... ,n} (czyli

wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru {1.2_____ n] na siebie). Zbiór

ten wraz z działaniem składania przekształceń o tworzy grupę (dla n > 2 nieabelową). Jest to przykład grupy skończonej (to znaczy takiej, w której zbiór G ma skończoną ilość elementów) bo S_n ma dokłanie n! elementów.

Na przykład

$Z ⁼ {^0-^a\ > °2« &Z' ^a\-^CTr,}

(7₀ =

(T₃ =

1	2	3 \ /I	2	3
1	2	3 )’*“( 1	3	2
1	2	^3 \ / 1	2	3
2	1	3 J'*^4- { 3	1	2

gdzie:

,<t₂ = =

1	2	3
3	2	1
1	2	3
2	3	1

Sprawdza się bezpośrednio, że podgrupami grupy S₃ są podzbiory:

M

{<T0.<Tl}

{^0.^2}

{^0.^3}

{<To,<T₄,<T₆}

Ss

5. Podgrupą grupy S_n jest zbiór .4,, złożony ze wszystkich perniutacji parzystych zbioru {1,2, — n}. Na przykład

(/ 1 2		( ^1 2	( ^1 2
U ^1 2	^3 )'	V 3 1 2 )	\ 2 3

Grupa (/!„. o) ma j elementów i jest nieabelowa dla n > 3.

6.    Przekształcenie płaszczyzny (lub przestrzeni), które jest bijekcją i które nic zmienia odległości punktów nazywamy izometrią płaszczyzny. Przykładami izometrii są obroty oraz symetrie. Przekształceniem, które nie jest izometrią jest na przykład rzutowanie na prostą. Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń jest grupą (nieabelową).

7.    Niech F będzie pewną figurą na płaszczyźnie. Izometrią własną figury F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem składania przekształceń jest grupą.

2