32136

Tw. własności przestrzeni wektorowej

Jeżeli (V,+,K, •) jest przestrzenią wektorową, x,y e V,a,fl e K, to:

1.    a -0 = 0 x = 0

2. —(a • x) = (-a) x = a- (-x)

3.    a-x = 0=>a = 0vx = 0

4. a ■ x = a ■ y A a 0 => x = y

5. a ■ x = p ■ x A x * 0 => a = /?

Def. Niech (V,+,K, •) będzie przestrzenią wektorową.

Mówimy, że W c V jest podprzestrzenią wektorową V <=> (W,+,K, •) jest przestrzenią wektorową. Wniosek:

W c V jest podprzestrzenią wektorową V <=>

W * 0 A Vx,y E WVa,/l E K: (a ■ x + /? ■ y) E W.

Np. Sprawdź, czy jest podprzestrzenią:

1. W={(x,y,z): 3x-2y+4z=0}

(0,2,1) e W

(x¹,y¹,z¹) eW»3x¹- 2y^J + 4z^ł=0 (x²,y²,z²) 6 W « 3x² - 2y² + 4z²=0

a(x¹,y¹,z¹)+(3(x²,y²,z²)=( ax^x+ (3x², ay'+ (3y², az^x+ (3z²) e W <=>

3(ctx¹+ px²) - 2(ay^x+ Py²) + 4 (az^x+ Pz²) = 0 <=> a(3x^x - 2y* + 4z*)+ P(3x² - 2y² + 4z²)= 0+0=0 Odp.: W jest podprzestrzenią wektorową IR³