32141

Def. Zbiór Y c X nazywamy podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ( X, V, + ) <=>

istnieje podprzestrzeń wektorowa W przestrzeni V taka, że VA, li £ Y: r_A (B) £ W

Def. Niech B=(b₁,..., b_n) będzie bazą przestrzeni V oraz O 6 X.

Mówimy, że układ (0,B ) jest układem współrzędnych w przestrzeni afinicznej (X, Y, + ).

Def. Współrzędnymi punktu A w układzie (0,B) nazywamy współrzędne wektora r_c(A) w bazie B

r₀(A) = Z"₌1a'bi

Wniosek:

1.    VA e X: A = 0 + EP=1 a'bi    a' są współrzędnymi punktu A w układzie (0, B)

2.    O = £P₌₁ 0 • b,

Def. Mówimy, że przestrzeń afiniczna X jest n-wymiarowa <=> dim V = n Każdą 1-wymiarową podprzestrzeń afiniczną nazywamy prostą.

Każdą 2-wymiarową podprzestrzeń afiniczną nazywamy płaszczyzną.

Def. Mówimy, że układ współrzędnych (0,B) jest kartezjański <=> baza Bjestortonormalna

Np. Sprawdź, czy zbiór Y jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni (IR³, E₃, +): 1. Y={ (y*,y²,y³): 3y² + y² - 2y³ + 4 = 0 }

wybierzmy układ współrzędnych ((0,0,0), B-baza kanoniczna ) oraz A,C e Y r₀(A) = Zf=i ^a'bj, r₀(C) = Źf₌₁ 0%

(3a¹+a²-2a³+4 = 0    ,, ,    „

ł. ,    3(c¹-a¹) + (c²-a² - 2(c³-a³) = 0

l3c² + c² -2c³+ 4= 0

r_A(C) = ^ro(C) + r_A(0) = r₀(C) - r„(A) = lf₌₁(c‘ - a‘ )bj =>

r_A (C) 6 W={ (x², x², x³): 3x³ + x² - 2x³ = 0 }

W jest podprzestrzenią => Y jest podprzestrzenią X