2749772309

Przestrzenie afiniczne:

przestrzenie afiniczne i ich przestrzenie wektorów swobodnych, podprzestrzenie przestrzeni afinicznych, równania parametryczne utworów liniowych, układy współrzędnych, afiniczne przestrzenie ortogonalne. Przestrzenie euklidesowe:

iloczyn skalarny, norma i metryka euklidesowa, miara kąta, rzutowanie prostopadłe, wyznacznik Gramma, odległość od podprzestrzeni, miara wielościanu, orientacja przestrzeni, iloczyn wektorowy.

Izometrie i podobieństwa:

przekształcenia afiniczne, grupa izometrii, grupa podobieństw, twierdzenia o rozkładach.

Geometria przestrzeni euklidesowych:

własności trójkąta, własności wielokątów, wybrane twierdzenia geometrii elementarnej, geometrie nieeuklidesowe.

Zbiory algebraiczne:

zbiory algebraiczne, hiperpowierzchnie, hiperpowierzchnie stopnia 2, równanie ogólne i jego zmiana przy zmianie układu współrzędnych, postać kanoniczna, krzywe stopnia 2, powierzchnie stopnia 2, klasyfikacja afiniczna i euklidesowa hiperpowierzchni stopnia 2.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

zob. algebra liniowa i geometria 1.

7. Analiza funkcjonalna 1    [ANF1-03]

Specjalność    F+I+N+T+Z    Poziom    6    Status    O

L. godz. tyg.    2 W + 2 Ćw    L. pkt.    6    Socr. Codę    11.1

Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha. Klasyczne ciągowe i funkcyjne przestrzenie Banacha; nierówności Hóldera i Minkowskiego. Przekształcenia liniowe przestrzeni unormowanych; przestrzeń sprzężona. Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe. Szeregi w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenia: Banacha-Steinhausa, o odwzorowaniu otwartym, Banacha o operatorze odwrotnym, o domkniętym wykresie i Hahna-Banacha. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych.

Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta. Nierówność Schwarza. Uzupełnianie przestrzeni unitarnych. Twierdzenia: Pitagorasa, o rzucie ortogonalnym i Riesza o postaci ciągłego funkcjonału liniowego. Ortogo-nalizacja i ortonormalizacja układu wektorów. Układy ortogonalne i ortonormalne. Układy ortonormalne zupełne. Szeregi Fouriera. Nierówność Bessela i tożsamość Parsevala.

Szeregi Fouriera funkcji rzeczywistych i zespolonych. Układ trygonometryczny i jego zupełność; twierdzenie Riesza-Fischera. Układ Rademachera.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura:

1.    A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN, 1969.

2.    W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, 1970.

3.    J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, 1976.

4.    W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, 1986.

8. Analiza matematyczna 1 i 2    [ANA1-03, ANA2-03]

Specjalność	N+F+T+Z	Poziom	1 - 2	Status	0
L. godz. tyg.	4 W + 4 Ćw	L. pkt.	11	Socr. Codę	11.1
L. godz. tyg.	4 W + 4 Ćw	L. pkt.	12	Socr. Codę	11.1

Aksjomatyka i konstrukcje zbioru liczb rzeczywistych. Kresy. Teoria granic ciągów rzeczywistych. Granica dolna i górna ciągu liczbowego.

Przestrzenie metryczne i pojęcia z nimi związane. Przykłady. Przegląd podstawowych rodzajów przestrzeni metrycznych (zwartość, spójność, zupełność). Zwartość, spójność i zupełność podzbiorów przestrzeni euklidesowej. Odwzorowania ciągłe, jednostajnie ciągłe i warunek Lipschitza. Ciągłość a zwartość (twierdzenie Weierstrassa); ciągłość a spójność (własność Darboux).

Teoria granic odwzorowań. Granica dolna i górna funkcji rzeczywistej w punkcie.

Funkcje monotoniczne i wypukłe. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ich ciągłość