3518

((Oo2⁺(Ooi)/2. Jednak amplituda a tego ruchu nie jest stała lecz powoli się zmienia z zależnością

A=2Ai|cos((0_O2⁺C«X)i)t/2| .okres zmian x=2n/((0_O2-(i>_oi)

Składanie drgań wzajemni prostopadłych

Punkt materialny bierze udział w dwóch drganiach wzajemnie do siebie prostopadłych o jednakowych częstodiwości. Drgania są w osiach OX i OY. x=Aisin(0)ot+<pi)    ;

y=A2sin(0X.t+cp2). Poszukajmy toru    tego    punktu.

x/Ai=sin((Oot+(pi)    ;

y/A2=sin(C0ot+(p2)    ;

x/Ai=sinG)_otcos<pi+cos(0otsin<pi; y/A 2=si n(0otcos(p2. cosCOotsi n(|>2 ; x/Aisin(p2= sin(0₀tcos(pisin(p2⁺ cosC0otsin<pisin(p2 ; y/A2sin(pi= si nd>otcos(p2si n(p i+ cos(0otsin(p2sin(pi ; x/Aisintp2-y/A2sin<pi= sin(0_otcos(pisin(p2 -sino>otcos(p2sin(pi ; x/A|Sin(pr y/A2sin(pi=sin(0ot(cos<pisin(p2 -cos<p2sin(pi) ; x/Aisintpr y/A2sin(pi= sin(0otsin(cp2-cpi) ; x/Ai=sin(0_otcos(pi+cos(0otsin(pi; y/A 2=

sin(iX,tcos(p2⁺cos(aotsin<p2 ; x/AiCos(J>2 - y/A2Cos(pi = cos(0ot(sin(picos(p2-sin<f>2Cos<pi) ; x/AiCos<p2 -y/A2Cos(p,=-cosO)otsin((pj-(pi) ; podnosimy do kwadratu ; x²/Ai²sin²<p2 -2 x/A i*y/A2si n(p2sin(p, + y²/A2²sin²<pi=sin²((0ot)siii²(<()2-<pi )    ;    x²/Ai²cos²(p2

-2x/A|*y/A2Cos(p2Cos(pi+ y²/A2²cos*’(p i=cos²( 0)_ot)sin²(92-(p i) ; dodajemy stronami ; x²/A i²-2 x/A i*y/A₂cos(<p2-<pi)⁺ y²/A₂²= sin²((p2-<pó    ;

cos(<p2-cpi)=    costpi

cos(p+sin(pisin <pj ; i otrzymujemy ogólne równanie elipsy ; 1. <pi=(p2=<p mamy y=AyAi*x równanie linii

prostej przechodzącej przez początek układu / ; 2. <p2-<pi=n mamy y=-AJA_t+x , jak wyżej \ ;    3. <prq>i=n^ mamy

x²/Ai²+y²/A2²⁼l równanie elipsy ; 4. 3/2 * FI tez elipsa ; 5.Ai=A2 ruch jest po okręgu. Jeżeli częstotliwości drgań są różne to wtedy punkt porusza się po skomplikowanym tor ze. Tego rodzaju tory nazywa się Lissojous’a.

Drgania tłumione Rozważania ograniczamy do rozpatrzenia    przypadku

prostoliniowego    drgania

punktu materialnego w lepkim ośrodku. W przypadku drugim siła jest proporcjonalna do prędkości. m*d²x/dt²=-kx-fV ; d*x/dt²=-k/m -fV/m ; f/m=2 (5 ; P=f/2m ;    d²x/dt²+(0_o²x+

+2(klx/dt=0    ; x=ze^A(-pt) ;

dx/dt=dz/dt‘^,,e^A(-Pt)-Pze^A<-Pt) ; d²x/dt²=d²z/dt²*e^A(-Pt)-P ; d²x/dt²=d²z/dt²*e^A(-Pt)

-2 P* dz/dt^l*^,e^A(- Pt)+P²e^A(- pt)**"z ; d²z/dt^2,ł,e^A(-Pt)

+0)_o²ze^A(-Pt)-p²ze^A(-pt)=0    ;

dzielimy przez e^A(-Pt) ; cPz/dt^ (Ooh- p²z=0    ;

d²z/dt²+ z((Oo²-p²)=0 ; (Oo‘-P‘>0 ;

ax.^,-P²=a)² ; d^d^+zco^O ; z=AoSin((Ot+(p) ; x=z*e^A(-pt) ; x=A₀e^A(-Pt)’^,,sin((Dt+<p)    ;

A=A_<>e^A(-pt) ; x=A sin(cot+(p) ; O)=pierw(a)o²-p²)    ;

T=2n/pierw((0o²-p²)    ;

Logarytmiczny dekrement tłumienia    - Naturalny

logarytm stosunku amplitudy dwóch kolejnych wychyleń następujących po czasie t. d=lnAo/A_D»i ; A„=A₀e^A(-pt) ; An* ,=A₀e^A(~P(t+T))    ;

d=lne^ApT=PT ; d=PT ; Czas relaksacji - czas po którym amplituda drgania maleje n-krotnie ; AJA^i=e ; e^APx=e^Al ; Px=l ; P=l/T ; z tego wynika że współczynnik tłumienia P jest wielkością fizyczną równą odwrotności czasu t w ciągu którego amplituda zmienia się n-razy. Czas t nazywamy czasem relaksacji. Niech N oznacza liczbę drgań po wykonaniu, których amplituda zmniejsza się e-razy ; x=NT ; T=d/p ; d=l/N ; Logarytmiczny dekrement tłumienia d równa się odwrotności liczby drgań N po upływie których amplituda zmniejsza się e-ktrotnie. A=Ao^,"e^A(-pt) ; Zgodnie z wzorem drgania zanikają w ciągu skończonego czasu, ponieważ drgania układu makroskopowego jako całości stają się niemożliwe gdy amplituda drgań ulega zmniejszeniu do wartości drgań rzędu drgań atomowych.

Drgania wymuszone

Na punkt materialny na który oprócz sił sprężystości i sił oporu działa dodatkowa siła zmienna okresowo. Niech siła ta ma postać F=F_ł>cos((Ot) ; m*d²x/dt²=-kx-f*dx/dt+FoCosCOt

d²x/dt²=-kx/m-f/m*dx/dt+F₀/m *cos(Ot    ;

d²x/dt²=-(0_o²x-2pdx/dt+Pcosa)t ; x=Acos(C0t+<p)    ;

dx/dt=-0)Asin((0t+(p)    ;

d²x/dt²=-Ci)²Acos((0t⁺(p)    ;

-0)²Acos((0t+(p)= Acos((Ot+(p) +2P(0Asin((0t+cp)+cos(0t ; -G)²A(cos(Otcos<p-sinO)tsi n<p)=-(D ₀²A(coscotcos<p-sin(Otsin<p)

+2 p(oA(sincotcos(p+cos(Otsin(p) +pcos(Dt ; równanie to stanie się tożsamością pod warunkiem, że współczynnik przy cos(Ot po lewej stronie równy będzie współczynnikowi przy cos(Ot po prawej stronie równania. Ten sam warunek muszą spełniać przy siiuot. ; -G)²Acos<p=-co₀²Acos<p+2 pooAsi n(p+p    ;

(0²Asin<p=(i)o²Asin<p+2 PooAcostp ; (C0o²-(0²)Acos(p-2P(0Asin(p=p;