39728

Nich G będzie grupa abelową, Hi, .... //«jej podgrupami. Mówimy, ŚeG jest sumąprostą (wewnętrzną) swoich podgrup jeśli homomorfizm f: Ht®H2®... ©//*— ftfhi, .... hn)) —>hi + I12 + ... + hn jest izomorfizmem grup.

Piszemy wtedy: G = Hi®H2® ... ®Hn T TTWWIUEERRDDZ ZZEENNI IlEE

Grupa G jest sumąprostąswoich podgrup Hi, ..., //«<=> spełnione sąwarunki:

(i)    H1 + H2+ ... + H„= G

(ii) V 1 = 1, ..., n-1: Hi+ir\ (Hi + ... + Hi) = (OJ

Sam warunek (ii) jest równowaSny temu. Śe/// + ... + Hn- Hi®H2<b ... ®Hn DDOOWWÓÓDD: ::

ZalóSmy. Se warunki (i) i (ii) sąspelnione.

Fakt. Sc/jcst homomorfizmcm jest oczywisty.

Mamy im/: Hi + ... + Hn, więc warunek (i) jest równowaSny temu, Se/jest „na”.

Niech (hi, .... hn) e Kerf.

Wtedy hi + h2 + ... + hn= 0

Stąd hn= - hi -112 -... - hn® //«n (Hi + ... + Hn i) = (0)

Stąd hn— 0 więc hi + ... + hn 1 = 0.

więc hn 1 = - hi - h2-... - hn 2€ //«./n (Hi + ... + Hn-2)...

Rozumując w ten sposób dostaniemy, Śe/ł/ = /12 = ... = hn= 0 Stąd Kerf= (OJ. Zatem/jest izomorfizmem.

ZalóSmy teraz, Se/jest izomorfizmem. Znów Hi + ... + Hn, więc skoro/jest „na” to warunek (i) jest spełniony.

Niech ie{l, ..., ti-1} i Ite Hi*ir\ (Hi + ... + Hi)

wtedy h = /i/+/oraz h = hi + ... + tu dla pewnych In, Ii2, ..., hi+i, hjE Hj(j = 1, ..., i+1)

Mamy/f(7ł/, ..., fu, -łu+i, 0, ..., 0)) = 0

więc hi - ... - fu = -hi+i = 0, bo Kerf = (OJ

Zatem h = 0. Wykazaliśmy, więc Hi+ir\ (Hi, .... Hi) = (OJ

Druga częśćtwierdzenia wynika z zastosowania /-szej części do grupy G' = Hi + ... + Hn T TTWWI UEERRDDZ ZZEENNl IlEE ( ((CCHHI /INŃS S.S A A/ ///// / / TWWI UEERRDDZ ZZEENNl IlEE OO RREES SSZ ZZT ITAACCHH W W WWEERRS SSJ IJIII DDL U AA GGRRULP PP)))

Niech G będzie grupąprzemicnną///, .. . H>< G.

Niech

n nH

G

H

G

H

G

HHH

/G-4xxx:n n...n...

1212

g+(///n... r\ H„)a(g+Hi. ..., g+Hn)

Odwzorowanie/jest izomorfizmem grup <=>

V i - 1, ..., n-l: Hm + (///r»... n Hi) = G (*)

JeSeli dodatkowo oprócz (*) spełniony jest warunek Hir\... Hn= (OJ to/ wyznacza izomorfizm: