39731

< 1

1

I

1

(1)

I 1

Pokazaliśmy zatem. SeVn.peN()

1

I

(.)-►

p

n._PK

K

K

dx x

Stąd wynika, Se(,)()->....,«</**, czyli, Se«

=i ()«nx jest ciągiem Cauchy'ego. Z zupełności

przestrzeni X wiemy, Se istnieje xeX taki, Se (,)->0 *n-+*>dx x

Mamy do pokazania. SeTx=x. PoniewaST jest odwzorowaniem ciągłym, mamy, Se TxTxTxx*

= = =    lim lim, czyli x jest punktem stałym dla odwzorowania T.

PokaSemy teraz, Se x jest jedynym punktem stałym dla odwzorowania T.

Zakładając, SeTy+y mamy do pokazania, Se y=x/ W tym celu wystarczy pokazać, Se d(x,y)=0. Skoro Tx=x i Ty=y to mamy. Se d(x,y)=d(Tx,Ty)<Kd(x,y).

Skoro 1>K>0 to nierównością jest moŚliwa tylko wtedy, gdy d(x,y)=0 co daje y=x