MATEMATYKA141

272 V. Całka ovtaczonu

272 V. Całka ovtaczonu

Zatem

(3.4)

f ^def ? Jf(x)dx = ^lim jf(x)dx.

Prz>' tym, jeśli granica po prawej stronie jest skończona, to mówimy, że b

całka niewłaściwa Jf(x)dx jest zbieżnn Gdy dodatkowo założyć, żc a

funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale <a,b), to zbieżność całki b

niewłaściwej Jf(x)dx oznacza, żc pole figury a

^D = {(x,y)€R²: a<x<b,0Sy£f(x)}, (por. rys 3.4),

b

jest skończone i równe tej całce:    |D|=Jf(x)dx.

a

Jeśli rozważana granica jest niewłaściwa ±oc albo nie istnieje, to

b

mówimy, żc całka niewłaściwa Jf(x)dx jest rozbieżna i w pierwszym

a

b

przypadku piszemy Jf(x)dx = ±oc. a

Możliwe są jeszcze inne przypadki całki niewłaściwej z funkcji nieograniczonej. I tak, gdy f jest łunkcją nieograniczoną na przedziale skończonym (a,b> i całkowalną na każdym przedziale <a,b>, gdzie

b

a < a < b, to całkę niewłaściwą Jf(x)dx definiujemy równością

a

J dćf ^b

(3 5)    Jf(x)dx = lim Jf(x)dx

b

Jeśli f jest funkcją nieograniczoną w sąsicdztwach S'(a) i S (b) oraz całkowalną na każdym przedziale <a.p>, gdzie a<a<p<b, to całkę b

niewłaściwą Jf(\)dx określamy równością: a

^{b b}

(3.6)    Jf(x)dx=sJf(x)dx+Jf(x)dx. gdzie cc(a,b)

a    a    c

Gdy f jest funkcją nieograniczoną w sąsiedztwie S(x_n) punktu x„e(a,b) oraz całkowalną w przedziałach <a.p>, <cx.b>, gdzie a<p<Xo<a<b.to przyjmujemy, że:

^b    fei ^xi    ^b

(3.7)    Jf(x)dx = J7(x)dx + Jf(x)dx.

a    a    x₀

Czasami zachodzi potrzeba wykorzystania całki niewłaściwej z funkcji nieograniczonej w przedziale niewłaściwym. Na przykład, gdy f jest funkcją nieograniczoną w sąsiedztwie S' (a), to przyjmuje się, żc

<*    ^,-C    er,

(3.8)    Jf(x)dx = Jf(x)dx+Jf(x)dx, ce(a,x).

a    a    c

We wzorach (3.6), (3.7), (3.8) przyjmujemy, żc całka niewłaściwa po lewej stronic jest zbieżna jedynie wtedy, gdy obie całki niewłaściwe po ich prawej strome są zbieżne

PRZYKŁAD 3.3 Obliczymy całki niewłaściwe (lub ustalimy ich rozbieżność):

i    i    *

a) f -r$—, b) J In • xdx, c) J ctgxdx

fi v ł x .,    f,

a) Funkcja podcałkowa jest nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie S (I) punktu x= 1. Jest to więc całka niewłaściwa postaci (3.4). Zatem

f_xdx__{= hm} [ xdx

r, V 1 - X P *' { >/l