102791

Riotechnologia I s<-in. M .Twardowska Równania różniczkowe wyżstych r/ędów 2

•    jeżeli /(x) jest iloczynem stałej C. funkcji wykładniczej e*** i jednej z funkcji: sin 6x lub cos fet, to szukamy rozwiązania postaci e^ax(A combi + Z?sin bx), gdzie A \ B są stałymi i, tak jak poprzednio, należy uwzględnić warunek: jeśli w równaniu charakterystycznym występował czynnik ((r - a)^{1 2 3} + bi²)^k , to przewidywane rozwiązanie należy pomnożyć przez ar

•    w pozostałych możliwych przypadkach postaci funkcji f(x) metoda przewidywali jest dość uciążliwa rachunkowo.

Współczynniki nieznanych wielomianów znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych.

+ 4x² -f 4e^2x + 4 sin 2x.

j) /'+ y = tgx + xe^x;

k)y"+4y =

yi(z) = yi(x) = e*

1

   Rozwiązać równania liniowe o stałych wspólczynmkach, jednorodne:

a) I/" - V - 6j/ = 0    b)    y"    + 4/ + 4y =    0    c) y" + 4/ + 5y    = 0    d) y"'-6y" + 12y'-8y    =    0

e) y^(IV) + 10y" + 9y = 0    f) y^(,v) - y = 0    g) y^(lv) + y = 0    h) y^(,v) - / = 0

i) y^(,V) + y" = 0    j)    y^(,v>    + 4y" = 0    k) y<^lv> + 2y" +    y = 0    1) y^(,v) +2y"-8y' + 5y    =    0

n) y^(IV) + 5y" + 6y = 0 o) y<^v> + 2y'" + / = 0 m) y<^IV> + 2y"' - 1 ly^/# - 12/ + 3Gy = 0

2

   Rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach, niejednorodne:

a) y" + 3xj + 2y =    4:    b) y" -    y' = 3**;    c) //" • 2/ • y ar²* **;

d) y" - 0/ + 9y =    3x    - 8e^x:    e) y*^,v>    - 2y" + y" = x + ars*;    f) y" - 2/ + lOy = 37cos3x;

g) y" + y = sin²x;    h) y" -    3y' + 2y =    * ₂ :    i) y" - 2/ + y =

^    1 + e"    x*

3

Znając układ fundamentalny rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego, napisać odpowiadające mu równanie:

a)y,(x) = e^_x    y-₂(x) = e'    b) y,(x) = 1    y₂(x) = x

c) yi(x) = 1    y₂(x) = e^x    d) yi(x) = e^_xsinx    y₂(x) = e^_xcosx