123190

Zbiór permutacji S₃ składa się z sześciu permutacji:

ĆT₀ =

1 2 3 \    ₌ ( 1 2 3

1 2 3 / ’ ^(T'    [ 1 3 2

<7₂ =

=

(Th =

1 2 3 \

3 2 1 )' 1 2 3 \ 3 1 2 )

Pcrmutacjc <7₀. (J.\. ofc są parzyste, a pcrmutacje (Tj, <t₂-<*3 nieparzyste. Mamy więc:

sgn(<T₀) = sgn(<x₄) = sgn(<7₅) = 1 sgn(<7,) = sgn(<7₂) = sgn(o-₃) = -1

Z definicji mamy:

det(/l) = E    =

«t€S₃

sgn(<7o)ai.<ro(i)^a2,<T₀(2)^a3.<ro(3) + sgn(<7i )ai,_ff|(i)a₂,_<T₁(₂)a_3/T,(3)+ sgn(rT2)a,._<T2(,₎a₂._<r2(2)«3._<T₂(3) + sgn(<7₃)fl_1>ff3(i)fl₂^₃(₂)a_3/T3(₃)+ sg¹¹ (^-i)    ,^4 (i)    ,<7₄ (2) 03,^ (3) + sgn(o-r_ł)ai,_łT5(i)a₂,_<T5(₂)a_3/ł5(₃) =

^flll^rt'22^a33 ^{— a}ll^a23^a32 ^— «13^fl22^a31 “ ^fl12^a21^ft33 + ^a12^a23^a31 + fll3^a21^fl32-

Zadanie Obliczyć z definicji wyznacznik:

12 14 5 0 0 2 3 0 0 0 3 2 4 5

Rozwiązanie Wyznacznik ten jest sumą 4! — 24 bloków składających się z iloczynu czterech elementów po jednym z każdego wiersza i każdej kolumny. Można zauważyć, że większość z tych bloków będzie zawierała zero więc nie wpływa na wyznacznik. Niezerowe bloki to:

.«l₂u₂₁n₃.|«*l₃.

Musimy jeszcze ustalić parzystość permutacji występujących w tych blokach /I 2 3 4 \ / 1 2 3 4 \ ( 1 2 3 4 \ / 1 2 3 4 _n,

\ 2 1 4 3 J’ \ 2 4 1 3 )' \ 3 1 4 2 J’ \ 3 4 1 2 J’ ^P,erwsza

i ostatnia są parzyste, natomiast dwie środkowe są nieparzyste, zatem wyznacznik ten jest równy:

ai2«2lfl34fl4.3 — fll2fl21«3lfl4.3 ^_ 013^21^34^42 + «13«2|031«42 =

2-5-0-4-2-2-3-4-1-5-0-2+1-2-3-2

2