Całka oznaczona Riemanna

Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale
.

Podział przedziału całkowania

Przedział
dzielimy na n przedziałów dowolnie wybranymi punktami a₁, a₂, ..., a_n-1 przy czym a=a₀<a₁<a₂<...<a_n-1<a_n=b. Oznaczmy ten podział P_n .

długość przedziału
k=1,2,...n

Liczbę
nazywamy średnicą podziału P_n.

Suma całkowa

W każdym przedziale
wybieramy dowolnie punkt x_k, obliczamy f(x_k) i tworzymy sumę

(suma całkowa).

Def: Ciąg
podziałów przedziału
nazywamy normalnym ciągiem podziałów gdy
.

DEFINICJA

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału
ciąg sum całkowych
( przy dowolnym wyborze argumentów) jest zbieżny do tej samej skończonej granicy, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) funkcji f w przedziale
i oznaczamy
.

O funkcji f mówimy, że jest całkowalna w (sensie Riemanna) w
.

Zatem całka oznaczona jest liczbą.

Rozszerzenie znaczenia symbolu całki

1. Jeśli
   , to
   .

2. 
   dla każdego a.

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest nieujemna
w przedziale
, to
jest równa polu obszaru leżącego na płaszczyźnie Oxy między wykresem funkcji f i osią Ox w pasie
.

Warunki wystarczające całkowalności w sensie Riemanna

1. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.

2. Funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.

Modyfikacje funkcji niewpływające na istnienie i wartość całki.

TW. Jeśli

1 funkcje f i g są określone i ograniczone w

2 funkcja g przyjmuje wartości różne od wartości funkcji f w skończenie wielu punktach

3 f jest całkowalna w

to g jest całkowalna w
oraz
.

Uwaga

Funkcja nieograniczona w
nie jest w tym przedziale całkowalna.

Obliczanie całki oznaczonej za pomocą funkcji pierwotnej

Tw:

Jeśli funkcja f jest ciągła w
, a F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale to

***

Piszemy krótko

Uwaga

Jeśli funkcja f jest ciągła w
to równość *** można przyjąć za definicję całki oznaczonej.

wzór na całkowanie przez części dla całki oznaczonej

wzór na całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej

WŁASNOŚCI całki oznaczonej

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale
to

1.

2.

3.(o podziale przedziału całkowania)

Jeśli
, to
.

4. Jeśli dla każdego
spełniona jest nierówność
, to
.

5. Jeśli dla każdego

, to
.

6. Jeśli dla każdego

, to
.

7. Twierdzenie (o wartości średniej) dowód

Jeśli f jest ciągła w
to istnieje punkt c,
taki, że
.

Def: Liczbę
nazywamy średnią całkową funkcji f w przedziale
.

funkcjA górnej granicy całkowania

Niech f będzie funkcją całkowalną w przedziale
,zaś α dowolnie ustaloną liczbą w tym przedziale.

Def:

Funkcję

nazywamy funkcją górnej granicy całkowania całki.

Tw: dowód

Jeśli f jest funkcją całkowalną w
i
, to funkcja

jest ciągła w przedziale
oraz ma pochodną
w każdym punkcie x, w którym funkcja podcałkowa f jest ciągła przy czym zachodzi równość
.

Wniosek

Tw:

Jeśli funkcja f jest ciągła w
, to funkcja

jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
.