POLE MAGNETYCZNE

F=q(v x B) (1)

|c|=ab sin (a,b)

Wzór (1) służy również do definicji jednostki natężenia pola magnetycznego

[B] = [F] \ [q] [v] = Ns\Cm = T

SIłA POLA MAGNETYCZNEGO DZIAłAJĄCA NA PRĄD ELEKTRYCZNY

Rozważamy kawałek prostoliniowego przewodnika w którym przemieszczają się naładowane cząstkio ład. q z pręd.V z gęstością obj. n. Gęstość prądu jest wielkością, która określa liczbę naład. cząstek przemieszczających się przez jednostkową objętość w jednostce czasu.

l = V S = |V|

V(jedn.) = V S = |V|

j = n V q (2)

j - gęstość prądu

Wektor j jest wielkością charakterystyczną dla punktu wewnątrz przewodnika (jest to wielkość mikroskopowa). Gdy rozkład prądu na dow. powierzchn. przekroju przewodnika jest stały, to gęstość prądu jest zdefiniowana:

j = I \ S (2)

z (2) ⇒ I = j S

Korzystając z definicji strumienia pola wektorowego można powiedzieć, że natężenia prądu jest sturmieniem wektora gęstości prądu.

I = _Σcałka pow. j dS (3)

I = _Σcałka powierzchniowa j u_Nds

ds = u_Nds

|u_N| = 1

j = u_T j

|u_T| = 1

r = u_R r

|u_R| = 1

Umieszczamy przewodnik z prądem w polu magnetycznym B.

Siła z jaką pole B działa na jednostkę tego przewodnika :

f = nq (v x B) (4)

Siła z jaką pole B działa na element objętości dV:

dF = nq (v x B)dv (4a)

Dla całej obj. przewodnika:

F = całka pow. (j x B)dv (4b)

1. dV = Sdl

2. j = u_T j

1 i 2 ⇒ (4b)

F = całka pow. (j S) ( u_T x B)dl

F = I _Lcałka pow. (u_T x B)dl (5)

Wzór (5) jest ważny dla przewodnika, w którym I = const. i j = const w całej objętości.

Dla przewodnika prostoliniowego o L umieszczonego w stałym polu jednorodnym dla którego v_T i B są stałe:

F = I (u_T x B) całka pow. dl

F = I L (u_T x B)

F = I L B sin (u_T, B)

F = B I L sin θ

POLE MAGNETYCZNE WYTWORZONE PRZEZ OBWÓD Z PRĄDEM:

Prawo Ampera - Laplace'a zapisana w oparciu o doświadczenia. Z doświadczenia wynika, że prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne w przestrzeni otaczającej przewodnik.

Pole B wytworzone przez przewodnik z prądem o I w odl. r od przewodnika jest równe:

B = (μ₀\4Π ) I całka (u_T x u_R) \ r² dl (6)

μ₀ - przenikalność magnetyczna ośrodka

u_T - wektor jednostkowy ośrodka do j

u_R - wektor jednostkowy ośrodka do r

Ponieważ prąd elektryczny jest ruchem ładunków, w związku z czym zgodnie z równaniem (6) pole magnetyczne (oddziaływanie magn.) jest wytwarzane przez ładunki w ruchu, z doświadczalnego prawa A.-L. wynika, że ładunek w ruchu wytwarza pole magnetyczne

ad. rys.: u_T x u_R || u_θ

u x u_R = sinθ

B = (μ₀ I \ 4 Π) _-∞^+∞całka (sinθ \ r²) dl (7)

r = R \ sinθ

l = -Rctgθ (8)

FORMUŁA BIOTA - SAVARTA: B = (μ₀ I \ 2ΠR) u₀

dl = -Rd(ctgθ) = - Rd(cosθ\sinθ) = Rd[(sin²θ + cos²θ) \ sin²θ] = (R \ sin²θ )dθ

dl = R\sin²θ dθ (9)

l = [-∞; +∞] ⇒ θ[0;Π]

(8) + (9) → (7)

B = (μ₀\2Π) (I\R) (10)

B = (μ₀\2Π) (I\R) u_θ (10a) - FORMUŁA BIOTA - SAVARTA

Linie sił pola magnetycznego tworzą współkoncentryczne okręgi o środku w miejscu gdzie jest przewodnik.

SIŁA DZIAŁAJĄCA MIĘDZY DWOMA PRZEWODNIKAMI Z PRĄDEM

F siła z jaką pole B (wytworzone przez przewodnik I) działa na przewodnik z prądem I':

F = I'całka -u_R B dl' (2)

u_T x B = - u_RB

F = (μ₀I\2ΠR) (z prawa B-S)

Wykorzystując regułę B-S dostajemy

F = -(μ₀I'\2ΠR)u_Rcałka dl'

F = -(μ₀I'\2ΠR)u_R (3)

Z równania (3) wynika, że takie dwa przewodniki, w których płyną prądy równoległe się przyciągają, tzn. że przewodnik z prądem I przyciąga przewodnik I'.

2 przewodniki w których prądy płyną antyrównolegle odpychają się.

Wzór (3) służy jako definicja Ampera.

μ₀\4Π = km = 10^-7

F = -10^-7 (2I I'\R)L

W przewodnikach płyną prądy o natężeniu 1A jeżeli te dwa przewodniki równoległe będące w odległości 1m od siebie działają siłą równą 2 x 10^-7 N (przyciągającą albo odpychającą) na każdy metr długości przewodnika.

POLE MAGNETYCZNE PORUSZAJĄCEGO SIĘ ŁADUNKU:

Prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne (prawo A-L). Zatem pojedyńczy ładunek q powinien być również źródłem pola magnetycznego.

B = (μ₀\4Π) I całka [(u_T x u_R)r² dl (1)

B = (μ₀\4Π) całka I [(u_T x u_R)r² dl (2)

dv = Sdl

j = ju_T

j = nqv

Idlu_T = (jS)dl u_T, gdzie Sdl = dV

B = (μ₀\4Π) całka [(qv x u_R)r² (ndV) (3)

Wzór (3) jest polem magnetycznym wytworzonym przez całkowitą licznę cząstek o ładunku q. Jedna cząstka daje pole magnetyczne:

B = (μ₀\4Π) q (v x u_R)r²

Pole B wytworzone przez poruszającą się cząstkę o ładunku q ma wartość max.:

B = B_MAX ⇔ v prostopadłe u_R B = 0 ⇔ v || u_R

B = (μ₀\4Π­) v x (q\r²) μ_R (1)

E = (1\4Πε₀) q\r² μ_R

Szukamy związku między B i E wytworzonym przez ładunek Q w punkcie odległym od niego o r.

(2) ⇒ (1)

q\r² μ_R = 4Πε₀E

B = (μ₀ε₀4Π\4Π) v x E (3)

c = 1\pierwiastek μ₀ε₀

B = 1\c² (v x E) (3a)

Ze wzoru (3a) wynika, że pole magnetyczne wytworzone przez ładunek q jest ≈ c² razy mniejsze, niż pole elektryczne.

SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA I SIŁA MAGNETOMOTORYCZNA:

1) całka pow. E dl = 0 E = F\q

całka pow. E dl ≠ 0 ⇒ muszą być przyłożone zewnętrzne siły elektromotorycznej

całka pow. E dl = V_E

B = (μ₀I\2Πr) μ₀

całka pow. B dl = całka B dl = całka pow. (μ₀I\2Πr) dl = μ₀I

całka pow. B dl = μ₀I = λ_B (2) siła magnetomotoryczna

Krążenie wektora B nie zależy od r od źródła. Jest to siła magnetomot.

Związek (2) jest słuszny dla dowolnego konturu.

To oznacza, że pole B jest polem wirowym. Korzystając ze związku między gęstością prądu i natężenia prądu:

λ_B = μ_{0 Σ} całka pow. j ds = _Γ całka pow.B dl (2a) - PRAWO AMPERA

POLE STATYCZNE - PODSUMOWANIE

Pole E i B traktowane oddzielnie ⇒ równania pozwalające wyliczyć E i B, gdzie znane są ładunki i prądy.

PRAWO FORMA CAŁKOWA FORMA RÓŻNICZKOWA

Tw. Gaussa dla całka pow. E u_R ds = q\ε₀ div E = q\ε₀

pola elektrycznego

Tw. Gaussa dla całka pow. B u_R ds = 0 div B = 0

pola magnetycznego

Krążenie pola całka pow. E dl = 0 rot E = 0

elektrycznego

Krążenie pola całka pow. B dl = μ₀I rot B =μ₀^j

magnetycznego

(2a) ⇒ μ_{0 Σ} całka pow. rot B ds

rot B = μ₀ j

POLA ELEKTROMAGNETYCZNE ZALEŻNE OD CZASU:

PRAWO FARADAY'A: gdy w obszarze działania pola B znajduje się przewodnik zamnięty i nasąpi zmiana w czasie strumiena pola B przechodzącego przez obwód, to w obwodzie tym powstaje siła elektromotoryczna proporcjonalna do szybkości zmian strumienia pola magnetycznego

B = B(t)

V_E = - dφ_B\dt

Korzystając z definicji siły elektromotorycznej w krzywej gamma:

_Γcałka pow.E dl = -d\dt _Σ całka pow. B ds (2)

Korzystając z twierdzenia Stokes'a można zapisać:

całka rot E ds = -d\dt _Σ całka pow. B ds (2a)

rot E = - dB\dt

rot E = -δB\δt (3a)

(2) - postać całkowa prawa Faraday'a

(3), (3a) - postać różniczkowa prawa Faraday'a

ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU:

Całkowity ładunek jest zawsze zachowany. Jeżeli rozważamy dynamiczny problem związany z ładunkiem, który przenika przez jakąś powierzchnię, to strata ładunku równa się ładunek wchodzący w powierzchnię Σ minus ładunek wychodzący.

I = _Σ całka pow. j ds (4)

i to jest równe całkowitemu ładunkowi przechodzącemu przez pow. Σ na zewnątrz. Zatem strata ładunku w jednostce czasu wynosi:

-dq\dt = _Σ całka pow. j ds (4a)

Równanie (4a) jest zasadą zachowania ładunku dla przypadku dynamicznego.

Korzystamy z tw. Gaussa:

q\ε₀ = _Σ całka pow. E ds

-dq\ds = -ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (5)

Wzór (5) wynika z tw. Gaussa.

(5) → (4a) ⇒ _Σ całka pow. j ds + ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds = 0 (6) -ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU DLA

PRZYPADKU DYNAMICZNEGO

Należy się spodziewać, że ze wzgl. na symetrię, która występuje w przyrodzie, zmienny w czasie strumień pola E powinien emitować pole magnetyczne. Korzystamy z krążenia pola E

_Γ całka pow.B dl = μ₀I = μ₀ całka pow. j ds (7)

Dla dynamicznego przypadku całka pow. j ds ≠ 0 korzystamy z zasady zachowania ładkunku. Do równania (7) wstawiamy związek (6).

_Γ całka pow.B dl = μ₀ całka pow. j ds + μ₀ ε₀ d\dt całka pow. E ds (8)

Korzystając z tw. Stokes'a mamy:

_Σ całka pow. rot B ds = μ_{0 Σ} całka pow. j ds + μ₀ ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (9)

Prawo (8) nosi nazwę prawa Ampera-Maxwella.

W tym prawie uwzględnia się wpływ dynamicznego zachowania ładunku na pole B.

rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ d\dt E (10) - POSTAĆ RÓŻNICZKOWA PRAWA AMPERA-MAXWELLA

Dla pól statycznych otrzymujemy prawo Ampera rot B = μ₀ j

Dla pól dynamicznych otrzymujemy prawo Anpera-Maxwella.

Gdy I = 0 j = 0, to całkowa postać prawa A-M. (8)

_Γ całka pow. B dl = μ₀ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (11)

λ_B = μ₀ε₀ dθ_E\dt (12)

RÓWNANIA MAXWELLA

Teoria elektromagnetyczna zapisana jest w 4 prawach Maxwella:

PRAWO FORMA CAŁKOWA FORMA RÓŻNICZKOWA

Tw. Gaussa (E) _Σ całka pow. E u_N ds = q\ε₀ div E = ρ\ε₀, gdzie ρ = q\V

Tw. Gaussa (B) _Σ całka pow. B u_N ds = 0 div B = 0

Tw. Faraday'a _Lcałka pow. E dl = - d\dt _Σ całka pow. B u_N ds rot E = -δB\δt

Tw. Ampera-Maxwella _Lcałka pow. B dl = rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ δ\δt E

= μ_{0 Σ} całka pow. j u_N ds +

+ ε₀μ₀ d\dt całka pow. E u_N ds

Prawa te są niezmiennicze wzgl. T.L.

Nie stosują się do cząstek elementarnych.

¶²x/¶r²=1/n² *(¶²x/¶t²)- równanie fali

Fale elektromagnetyczne

x- zaburzenie dowolne

gestość gazu- fala akustyczna;

odkształcenie- fala sprężysta

E- fala elektromagnatyczna

jest to równanie fali stosowane do różnego rodzaju zaburzeń. Podstawowym założeniem jest że są one małe i znikają gdy przestaje działać siła zewnętrzna (układ wraca do stanu równowagi). np. w przypadku odkształceń sprężystych równanie to obowiązuje w zakresie odkształceń opisanych prawem Hoka

XIX w. Hert udowodnił że pole elektromagnetyczne rozchodzi się w próżni z V =C, dalsze badania fal elektromagnetycznych pozwoliły opisać ich własności tzn. wytwarzanie, przemieszczanie się i absorbcją (pochłanianie) Maxwel w swoich równaniach przewiduje występowanie fal elektromagnetycznych

Zał. wektor j =0 q=0 E jest || do y B ||do z ; E (0,E,0) B(0,0,B)

zakłądamy również że pola te są funkcją czasu korzystamy kolejno z 4 rownań Maxwela

a) tw. Gaussa (E)

divE=0=>dE/dy=0

¶E/¶y=0

b) tw. Gaussa (B)

divB=0=>dB/dz=0

¶B/¶z=0

c) prawo Faraday'a - Henriego

rotE=¶B/¶t

^i(¶E_z/¶y-¶E_y/¶z)=^i ¶B_x/¶t

^j(¶E_x/¶z-¶E_z/¶x)=^j ¶B_y/¶t

^k(¶E_y/¶x-¶E_x/¶y)=^k ¶B_z/¶t

Fala elektromagnetyczna

E(0,E,0) E||y; B(0,0,B) B||z; q=0; j=0

divE=0=>¶E/¶y=0 (1)

divB=0=>¶B/¶z=0 (2)

rotE=-¶B/¶t

ß

¶E_z/¶y-¶E_y/¶z=-¶B_x/¶t (3)

¶E_x/¶z-¶E_z/¶x=-¶B_y/¶t (4)

¶E_z/¶x-¶E_x/¶y=-¶B_z/¶t

rotB=e₀m₀¶E/¶t

ß

¶B_z/¶y-¶B_y/¶z=e₀m₀¶E_x/¶t (5a)

¶B_x/¶z-¶B_z/¶x=e₀m₀¶E_y/¶t (5b)

¶B_y/¶x-¶B_x/¶y=e₀m₀¶E_z/¶t (5c)

¶B_z/¶y=0 (6)

¶B_z/¶z=- e₀m₀¶E_y/¶t (7)

(5c) nie daje żadnego rozwiązania

ß

¶²E/¶t¶x=-¶²B/¶t² (8a)

¶²E/¶x²=-¶²B/¶x¶t (8)

(1) + (3) => E ą f(y,z)

(2) + (5) => B ą f(y,z)

(7) => -¶²B/¶t¶x=e₀m₀¶²E/¶t² (9a)

-¶²B/¶x²=e₀m₀¶²E/¶x¶t (9)

(9)+(8a) => -¶²B/¶x²=e₀m₀¶²B/¶t² (10a)

-¶²E/¶x²=e₀m₀¶²E/¶t² (10)

¶²x/¶x²=l/v² * ¶²x/¶t²

x(xt)=x₀e^i(wt-kx) (11)

k=2P/l

dla v=c

c=1/sqrt(e₀m₀)

v=1/sqrt(em)

n=c/v=sqrt(em/e₀m₀)

e/e₀=e_r, m/m₀=m_r

n=sqrt(e_rm_r)

E(x,t)=E₀e ^i(wt-kx) (12)

B(x,t)=B₀e ^i(wt-kx) (12a)

k=w/n

E₀e ^i(wt-kx)= -iwB₀e ^i(wt-kx)

kE=wB=> B=kE/w (13); B=(k x E)/w(13a)

Energia pola

W_E=1/2* e₀E²; W_B=1/2*B²/m₀ => W=1/2*(e₀E²+B²/m₀) (14)

Wektory Poytinga

S=(E x B)/m (15)

Wektor Poytinga jest to wektor opisujący transport (przekaz) energii

E=(0,E,0)

B=(0,0,B)

^iSx=(^jE x kB)/m

S=EB_z/m=kE²_y/wm=E²_y/nm

n=m/sqrt(me)=sqrt(m/e)

s_x=sqrt(m/e)*E²_y

s_x=sqrt(m/e)*E₀²_y(e ^i(wt-kx))²

<s_x>=₀całka^TS_xdt/T-średnia wartość wektora Poytinga

<s_x>=1/2*sqrt(m/e)*E₀²_y

Średnia wartośc wektora Poytinga w optyce nosi nazwę natężenia promieniowania, a amplituda pol E odgrywa rolę amplitudy fal.

Polaryzacja fal

E=E₀e ^i(k*r-wt); E=E₀e ^i(kz-wt)

B=B₀e ^i(k*r-wt); B=B₀e ^i(kz-wt)

Jeżeli E₀ i B₀ = const. wtedy fala jest spolaryzowana liniowo E₀ równoległe do B₀ i w optyce przyjmuje się, że kierunek polaryzacji to jest kierunek wektora E. Pole E i B są liniowo spolaryzowane. W naturalnym pzrypadku tzw. fali niespolaryzowanej polaryzacja fluktuje w sposób przypadkowy

Polaryzator liniowy w które wiązkę fali niespolaryzowanej zmienia w spolaryzowaną liniowo może to stać się na skutek podwójnego odbicia

Dichroizm polega na tym że występuje w danym ośrodku anizotropowa absorbcja optyczna

Wszystkie te urządzenia mają dobrze zdefiniowaną oś transmisji tj. kierunek w polaryzatorze wzdłuż którego wektory pola E jest transmitowany bez lub z małymi startami (dla innych kierunków następuje silne tłumienie). Każdy polaryzator jest przeźroczysty dla światła spolaryzowanego w kierunku osi transmisji natomiast całkowicie nieprzeźroczysty dla światła spolaryzowanego prostopadle do osi transmisji

E₁=EcosQ

I₁=Icos²Q

dla światła niespolaryzowanego wszystkie kierunki Q są równie prawdopodobne

czynnik transmisji (dla ideal nego liniowego polaryzatora) światła niespolaryzowanego jest średnią wartością cos²Q i wynosiu 1/2

Polaryzacja częściowa

Światło częsciowo spolaryzowane to mieszanina światła spolaryzowanego i niespolaryzowanego. Stopień polaryzacji jest zdefiniowany jako część całkowitej intensywności światła które jest spolaryzowane

P=I_pol/(I_pol+I_niepol)

Polaryzacja kołowa i eliptyczna

rozważamy przypadek dwóch spolaryzowanych fal o tej samej amplitudzie E₀ z różnicą faz pi/2

w dwóch kierunkach wzajenie prostopadłych światło ulega polaryzacji liniowej

Po rozproszeniu na molekule dostajemy dwie liniowo spolaryzowane wzajemnie prostopadłe wiązki fali elektromagnetycznej

E_x=E₀cos(kz-wt)

E_y=E₀sin(kz-wt)

E=^iE_x+^jE_y

uzyskamy wówczas falę spolaryzowaną kołowo

wektory pola B i E światła spolaryzowanego kołowo

a) układ wektorów w czasie

b) rotacja danych wektorów w przestrzeni

Polaryzacja eliptyczna

E_x=E₀cos(kz-wt)

E_y=E₀'sin(kz-wt)

E₀ąE'₀

w wyniku takiej polaryzacji pole E w danym punkcie przestrzeni rotuje i zmienia również swój moduł tak że koniec wektora zatacza elipsę

wektory pola B i E światła spolaryzowanego eliptycznie

a) układ wektorów w czasie

b) rotacja danych wektorów w przestrzeni

Zmiana wektorów E i B na granicy dwóch ośrodków

zakładamy że płaszczyzna A jest płaszzczyzną ośrodka o e₁,m₁ z ośrodkiem i badamy zachowania się wektorów E i B po przejściu przez A korzystamy z równań Maxwela dla przestrzeni o I=0 i j=0 (nie ma jonów ani ładunków)

1. twierdzenie Gaussa

_Scałka(e E*ds)=0

dowolne wektory E₁ i E₂ rozkładamy na składowe E₁(E_1^/ E_1|| ) E₂ (E_2^/ E_2||)

te rozważania będą się odnosiły do składowej prostopadłej, gdyż wpływ od składowej równoległej będzie =0. Również część pod całką odniesiona do relacji składowej prostopadłej i składowej ds na pobocznicy walca będzie równa 0 wobec tego otrzymamy

E_1^/ E_2^=e₂/e₁

z powyrzszego równania wynika że E_^ pola E ulega zmienie przy przejściu przez granice rozdziału dwóch ośrodków

2) Tw. Gaussa

_Scałka(B*ds)=0

-B_1^ds₁+B_2^ds₁=0

B_1^= B_2^

skaładowa prostopadład pola B nie ulega zmianie przy przejściu przez granicę rozdziału dwóch ośrodków

3) _Gcałka(E*dl)=0

-E_1||dl₁+E_2||dl₂=0=>E_1||=E_2||

z powyższego równania wynika że E_|| wektora E nie zmienia się przy przejściu przez A

4) _Gcałka[(1/m)*B*ds]=0

B_1||dl₁/m1+B2_||dl₂/m₂=0

B_1||/ B_2||=m₁/m₂

składowa równoległa wektora B ulega zmianie przy przejściu przez granicę rozdziału dwóch ośrodków

Pole elektryczne kondensatora

do okładek kondensatora porzykładamy jednorodne ale zmiennne w czasie pole E i zgodnie z równaniami Maxwela to pole powinno być równe

E=E₀e^iwt

_Lcałka(B*dl)=m₀e₀*d/dt*_Scałka(E*ds)

2PrB=m₀e₀d/dt(Er²)P

2B= m₀e₀ *dEr/dt

B=iwrE₀e^iwr/2c²= iwrE/2c²

znaczenie pola B które powstaje również między okładkami kondensatora jest tym istotniejsze im większą częstotliwość posiada E kondensatora z równania tego -> również że B jest zmienne w czasie i zależy od r

B=B(t,r)

z równań maxwela wynika że gdy istnieje zmiennne w czasie pole B to krążenie pola E jest różne od zera wobec tego należy uwzględnić poprawkę do pola E ze zmiennym w czasie polem B

E₁=E₀e^iwr

E=E₁+E₂

_Lcałka(E*dl)=-¶f_B/¶t

_Lcałka(E₁+E₂)dl=-¶/¶t*_Scałka(B*ds)

_Lcałka(E₂*dl)=-E₂(r)h

f_B=h całka(B(r)dr)

f_B=h*całka(iwr/2c²*Edr)

f_B=hiwr²/4c²*E₀e^iwr

-¶f_B/¶t=hw²r²e₀e^iwr/4c²

-E₂(r)h=hw²r²E₀e^iwr/4c²

E₂(r)=-w²r²E₀e^iwr/4c²

można byłoby liczyć kolejne poprawki pola E i B i w efekcie pole E jakie powstaje w kondensatorze przy dużej częstotliwości jest zapisane w postaci szeregu który z dokłądnością do 4 wyrazów ma następującą postać

E=E₀e^iwr[1-(wr/c)²+1/2!²*(wr/c)⁴-1/3!²*(wr/c)⁶+...]

współczynniki wyrażenia na E są tak zapisane żeby było widać jak należy konstruować ten szereg. Szereg ten zawiera zmienną wr/c. Jeżeli przyjmiemy że

x=wr/c

to szereg ten można przedstawić za pomocą funkcji specjalnej J₀(x) która występuje przy rozwiązaniach fal o symetrii cylindrycznej i pełni taką samą funkcję jak cos lub sin dla fal rozchodzących się w jednym wymiarze

J₀=1-(x/2)²+1/2²*(x/2)⁴-...

funkcja J₀(x) nosi nazwę funkcji Bessela i jej charakter jest następujący

pole sprzęgające we wnęce rezonansowej

E=E₀e^iwrJ₀(wr/c)

charakter zmienności natężenia pola elektrycznego funkcji wr/c wskazuje że istnieje takie r dla którego funkcja Bessela przyjmuje wartość zerową

Kondensator zaprojektowany dla małych częstotliwości nie będzie dobrze pracował dla częstotliwości dużych, gdyż dla dużych częstotliwości będzie on miał właściwości kondensatora i cewki indukcyjnej czyli sam kondensator zachowywał się będzie jak obwód rezonansowy. Można więc zbudować urządzenie zwane wnęką rezonansową wprowadzając między okładki kondensatora „pobocznicę walca” o takim promieniu i dla którego J₀ a tym samym E będzie równe 0. Taki zabieg nie wprowadzi istotnych zmian w kondensatorze. Zbudowana została puszka cylindryczna zwana wnęką rezonansową wewnątrz której zawarte zostały pola E i B podtrzymujące się wzajemnie bez żadnych połączeń elektrycznych. Tak by było dla idealnego przypadku natomiast w rzeczywistym przykładziie takliej wnęki rezonansowej zawsze zachodza straty en. i dlatego wewn. pole elektromagn. należy podtrzymywać za pomocą pętli sprzęgającej.

Polaryzacja materii

zjawisko polaryzacji materii związane jest z wpływem pola elektrycznego na subst. która pierwotnie nie koniecznie musiała posiadać dipolowy moment elektryczny. W substancji tej pod wpływem pola E zachodzi zjawisko polaryzacji elektrycznej i wyindukowane dipolowe momenty elektryczne ustawiają się zgodnie z liniami sił pola elektrycznego. Ośrodek taki nazywa się dielektrykiem. Proces polaryzacji powoduje makroskopowe ładowanie się próbki subst. taką charakteryzujemy przez: P moment dipolowy jedn. objętości spolaryzowanej subst. p moment dipolowy wyindukowany w atomie lub molekule

Jeżeli n - ilość atomów na jedn. objętości to

P=np

zwykle P zwany polaryzacją jest proporcjonalny E pola które spowodowało polaryzację i dla próżni

P=c₀e₀E

gdzie c₀ podatność elektryczna subst.

p_c=(p*s)*l

całkowity moment dipolowy subst. wynosi

p_c=(p*s)*l

zatem na każdej pow. P*S ładunku czyli na jedn. pow. mamy P ładunku który odpowiada gęstości pow. s_p spolaryzowanego ładunku

P=s_p

ładunek na jednostkę pow. spolaryzowanej subst. = składowej polaryzacji P w kierunku normalnym (prostopadłym) do pow. subst. czyli

d_p=P_N=PcosQ

Q=Đ(N,P)

Przemieszczenie elektryczne

-d_sw odp (+P)

+d_sw odp (-P)

d_c= d_sw-P- całkowitu ładunek na dodatniej okładce kondensatora

z tw. Gaussa wiadomo że dla płaskiekj powierzchni o gestości pow. s natężenie pola elektrycznego wynosi E= d/e₀

E=d/e₀=(d_sw-P)/e₀

-> d_sw= e₀ E +P

i te ładunki swobodne z gęstością pow. d_sw noszą nazwę przemieszczenia elektrycznego D zdefiniowanego następująco

D=e₀E+P

ogólnie składowa wektora D wzdłuż normalnej do pow. przewodnika otoczonego dielektrykiem daje wartość powierzchniowej gęstości ładunku swobodnego

d_sw=D+u_n

składowa normalna

e₀E+u_n=d

daje gęstość pow. ładunku całkowitego (efektywnego)

d_sw=D+u_n

d=e₀E+u_n

całkowity ładunek swobodny na pow. przewodnika

q_sw= _Scałka(d_sw *ds)

korzystając ze powyższych wzorów mamy

q_sw= _Scałka(D*u_n*ds)

całkowity ładunek swobodny jest równy strumieniowi pola wektorowego D

q_sw=f_D

P~E

D=e₀E+P

P=e₀+(1+c₀)E

w ten sposób znajdujemy def. przenikalności elektrycznej ośrodka zdefiniowaną nasępująco

e=D/E=e₀(1+c₀)

względna przenikalność dielektryczna

e_r=e/e₀=(1+c₀)

[e]=C²s²/kg m³

D=eE

korzysając z powyższych wzorów

q_sw=e_Scałka(E*u_nds)

q_sw=ef_E

tabela.

podatność elektryczną c₀ wiążemy z tzw. parametrami polaryzowalności a. Jest to parametr który odpowiada za spolaryzowanie atomów w zewnętrznym polu elektrycznym. W polu elektrycznym wyindukowany moment dipolu

p=ae₀E

p=p_n

p= ae₀nE

c₀=na

a-parametr mikroskopowy związany z procesami zachodzącymi wewnątrz atomu c₀ - parametr makroskopowy

wyliczenie c₀ sprowadza się do wyznaczenia a

polaryzacja substancji jest efektem 2 efektów

a) efekt dystorsji

jeżeli molekuły lub atomy nie posiadają stałego momentu dipolowego to polaryzacja subst. pochodzi od efektu dystorsji (odkształcenia) orbit elektronowych. Indukuje się więc dipolowy moment elektryczny. Jest on zawsze || do lini sił zewn. pola elektrycznego. Każdy atom lub molekuła charakteryzuje się pewnym sperktrum częstości własnej. Jeżeli przyłożymy zewn. pole elektryczne to wówczas nie uwzględniając zjawiska tłumienia podatność elektryczna c₀=na wyraża się wzorem

c₀=ne²/e₀m_e*S f/(w²_i-w²)

e - ładunek el. m_e masa el. f_i czynnik proporcjonalności w częstotliwość pola elektrycznego w_i składowa częstotliwości własnej

e_r=1+c₀

w rzeczywistym materiale występuje zawsze tłumienie dlatego e_r nie ucieka do nieskończoności gdy w zbliża się do w₁. tłumienie to związane jest z emisją promieniowana elektromagn. przez przyśpieszone elektrony

z powyższego wzoru wynika że

a=e²/e₀m_e*_iS f/(w²_i-w²)

i zależy od rodzaju subst. oraz od wartości tłumienia

podstawiając wartości otzrymujemy

c₀=3,19*n*S f/(w²_i-w²)

przyjmując wybraną w_i równą 5*10 ¹⁵ Hz i przyjmując że dla ciał stałych n = 10 ²⁸ /m³ a dla gazów przy ciśnieniu normalnym n= 10 ²⁵/m³ otrzymujemy c₀ =1 dla ciał stałych c₀ =10^-4 dla gazów

Podatność elektryczna subst. które posiadają własny moment dipolowy

istnieją subst. w których miolekuły posiadają własny moment dipolowy, z tym że dla E=0 te momenty dipolowe są równie prawdopodobnie skierowane we wszystkich kierunkach przestrzeni dlatego makroskopowy momont dipolowy=0

w tej klasie materiałów mamy subst. w których nie występuje oddziaływanie między dipolami i wówczas momenty dipolowe tych subst. w zewnętrznym polu elektrycznym różnym od 0 układają się || do lini sił pola elektrycznego. Są również takie subst. gdzie molekuły oddziaływują między sobą i wówczas pod wpływem pola elektrycznaego ustawiają się one w kierunku który jest wypadkowym, zależnym od oddziaływania momentu dipolowego z polem E i wzajemnego oddziaływania między dipolami. W każdym z tych dwóch przypadków pole E dąży do uporząadkowania momentów dipolowych || do sił pola E. Jednakże zderzenia między molekułami psują ten porządek i wówczas w danej temp T średni moment dipolowy zgodny z kierunkiem pola E wynosi

p_śr=p₀²E/3k_bT; k_b-stała Boltzmana

a=p₀²/3k_bT

c₀=np₀²/3k_bT- prawo Curie

prawo Curie mówi o zależności podatności elektrycznej od temp. elektryczna polaryzacja materii związana z orjentacją molekół o momencie dipolowym jest odwrotnie proporcjonalna do temp. natomiast polaryzowalnośc elektronowa nie zależy od temp.

c_całk.=A+B/T- prawo Curie

całkowita podatność elektryczna jest więc sumą członu niezależnego od temp. i członu zależnego od temp. (jeżeli w tej subst. naturalnie występuje dipolowy moment elektryczny). Istnieje grupa subst. nazywanych ferroelektrykami które bez obecności zewn. pola E posiadają makroskopową plaryzację w materiałach tych podobnie jak w ferromagn. występuje naturalna tendencja do porządkowania momentów dipolowch w pewnym obszarze zwanym domeną ferroelektryczną. uporzadkowanie takie w skali jednej domeny jest wynikiem wzajemnego oddziaływania między molekułami które są źródłem silnego pola elektrycznego

Fale

x₁=x₀₁sin(wt-kx)

x₂=x₀₂sin(w't-k'x)

Założenia: w-w' jest mała; k-k' jest mała

x=x₁+x₂=2x₀sin[(w-w')t/2-(k-k')x/2)]cos[(w-w')t/2-(k-k')x/2)]

x=2x₀cos[(w-w')t/2-(k-k')x/2)] sin(wt-kx)

v_f=w/k; k=2P/l- v_f - v falowa

v_gr=(w-w')/(k-k')=dw/dk v_gr- v grupowa

1) v_g>v_f dla dv_f/dt>0

2) v_g<v_f dla dv_f/dt<0

w pierwszym przypadku mamy do czynienia z dyspersją anomalną, w drugim przypadku mamy do czynienia z dyspersją normalną

Interferencja

interferencja następuje gdy mamy koegzystencję 2 lub więcej ruchów oscylacyjnych w czasie i przestrzeni

x₁=x₀₁sin(wt-kx)- fala padająca

x₂=x₀₂sin(wt-kx)- fala odbita

rys

x₁=x₀₁sin(w₁t-kr₁)

x₂=x₀₁sin(w₂t-kr₂)

zał w₁=w₂ r₁ różne od r₂ w związku z tym różnica faz w P bierze się z różnicy dróg

d_p=kr₁-kr₂=2P(r₁-r₂)/l

x₀=sqrt(x₀₁²+x₀₂²-2x₀₁x₀₂cos(x₀₁,x₀₂))

dla d=2Pn x₀=max=x₀₁+x₀₂ - max interferencyjne

dla d=2(n+1)P x₀=mix=x₀₁-x₀₂- min interferencyjne

x =max => jest to interferencja konstruktywna

x =min => interferencja destruktywna

różnica faz obu fal nie zależy od czasu

takie dwa źródła dla których w₁= w₂ zaś d nie zależy od czasu to źródła koherentne (spójne synchroniczne)

dla

1. d=2Pn(r₁-r₂)=2P(r₁-r₂)/l=>r₁-r₂=nl

2. d=2(n+1)P=2P(r₁-r₂)/l=>r₁-r₂=(2n+1)l=(n+1/2)l

x₀=OP=2OQ=2rsin(Nd/2)

x₀=OR=2rsin(d/2)=>2d=x₀₁/sin(d/2)

x₀=x₀₁sin(Nd/2)/sin(d/2)

I=I₀[sin(Nd/2)/sin(d/2)]²=I₀[sin(NPasinq/l)/sin(Pasinq/l)]²

a - odległość między źródłami , N- ilość źródeł

max: I_max=I₀[sin(NPn)/sin(Pn)]²->I₀N²

min: Nd/2=n'P

asinq/l=n'/N

między każdymi min jest jedno max zatem istnieją N-2 max dodatkowe między max głównymi. Ich natężenie jest małe zwłaszcza gdy N jest duże. Dla N -> do nieskończoności istnieje takie q dla którego asinq/l=0,+ 1,+ 2,...

już dla niewielkiego otoczenia q natężenie spada do zera jest to model anteny kierunkowej

Zjawisko dyfrakcji opisujemy wykorzystując zasadę Huygensa (ugięcia) która to zasada mówi że w przypadku procesów falowych każdy punkt szczeliny przeszkody jest źródłem elementarnej fali kulistej zwanej elementarną falą dyfrakcyjną. Dlatego szczelinę taką należy traktować jako źródło niskończonej ilości elementarnych fal synchronicznych wobec czego zjawisko dyfrakcji możemy opisać wykorzystując sposób do opisu interferencji fal nieskończonej ilości źródeł synchronicznych

dloa wybranego punktu C szczeliny wyliczamy Przesunięcie fazowe między wiązką A i C dla wybranego q korzystając z def. przesunięcia fazowego

d=2P/l=2Pxsinq/l

z wzoru tego wynika że d jest funkcją x

d=d(x)

(x)- punkt bierzący szceliny x należy od 0 do b; dmax jest osiągnięta dla promieni skrajnych A i B

d_max=2Pbsinq/l=a(AiB)

żeby opisać zjawisko dyfrakcji musimy znaleźć wypadkową amplitudę będącą wynikiem interferencji elementarnych fal dyfrakcyjnych. Korzystamy z pomocniczej konstrukcji, która jest analogiczna do konstrukcji pomocniczej przy opisie zjawiskainterferencji z tym że elemenarne amplitudy d x₀ bedą się sumowały wektorowo układając się w łuk

wypadkowa amplituda

A=2QP

A=2sinr(a/2)

r znajdujemy z relacji między długością łuku a promieniem tego łuku

A₀=ra=>r= A₀/a

A=2A₀sin(a/2)/a

A=A₀*sin(Pbsinq/l)/(Pbsinq/l)

I=I₀*[sin(Pbsinq/l)/(Pbsinq/l)]²

I=I₀(sinm/m)

m=Pbsinq/l

zera natężenia występują dla m =nP , n=1,2,3,...;opuszczamy n=0 gdyż wtedy mamy główne max dyfrakcji

m=Pbsinq/l=nP

min dostajemy gdy

bsinq=nl

dla kąta q = + l/b mamy pierwsze minima symetryczne wokół głównego max

q=l/b

Zdolność rozdzielcza Reyleigha

taka analiza obrazu dyfrakcyjnego pozwoliła wprowadzić zdolność rozdzielczą zwaną zdolnością rozdzielczą R., która określa qmin między dwoma niezależnymi kierunkami fal padających na przeszkodę dla których obraz będzie dobrze rozdzielony.

Dwie wiązki tworzące q są dobrze rozdzielone gdy główne max S₁= pierwsze min S₂ i główne max S₂= pierwsze min S₁

Dyfrakcja Frauhenhofera (dwie szczeliny)

wypadkową amplitudę znajdujemy:

a) wyliczając poszczególne amplitudy fali na szczelinie 1 i 2

b) sumując te amplitudy tak jak przy interferencji (dwa źródła synchroniczne)

wypadkowa amplituda na szczelinie pierwszej wyraża się wzorem

A₁=A₀*sin(Pbsinq/l)/(Pbsinq/l)

a na 2

A₂=A₀*sin(Pbsinq/l)/(Pbsinq/l)

b=2PCE/l=2Pasinq/l

A=sqrt(A₁²+A₂²+2A₁A₂cosb)

A=A₁sqrt[2(1+ cosb)]

A=2A₁cos(b/2)

A=A₀*sin(Pbsinq/l)/(Pbsinq/l)cos(Pasinq/l)

I=I₀[sin(Pbsinq/l)/(Pbsinq/l)cos(Pasinq/l)]²

zera dyfrakcji występują gdy bsinq/l =1,2,3,... max interferencyjne uzyskujemy dla asinq/l =0,1,2,...

LASERY

laser - Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation

W 1917 Einstain w swojej teorii przewidział wystepowanie procesów laserowych. Pierwszy laser został zrobiony w 1960 w USA z sysntetycznego rubinu. Był źródłem światła widzialnego i podczerwonego. Einstain wprowadził koncepcje stymulowanej lub indukowanej emisji przez układ atomów. Rozważmy układ atomów ościśle określonych poziomach energetycznych 1,2,3 ,...,n E₁,E₂,E₃,...,E_n. Stan obsadzenia jest to liczba atomów na jednostkę objętości znajdujących się w odpowiednim stanie energetycznym

N₁,N₂,N₃,...,N_n ilośc atomów w poszczególnych stanach

Taki układ atomów gdy zajduje się w stanie równowagi termodynamicznej w temp. T , to wówczas względna populacja jakichkolwiek dwóch poziomów energetycznych jest rozkładem Boltzmana

Jeżeli atom z E₂ przechodzi do E₁ to emituje foton. Jeżeli przyjąć że A₂₁ jest prawdopodobieństwem przejścia w jednostce czasu ze spontaniczną emisją związaną z przejściem z poz 2 na 1, to wówczas liczba takich przejść wynosi N₂A₂₁ Dodatkowo do tych spontanicznych przejśc wystąpują przejścia indukowane lub stymulowane i zgodnie z teorią Einstaina te przejścia są proporcjonalne do gęstości u_n promieniowania o gestości n równej

n=(E₂-E₁)/h (h-stała Plancka)

Przyjmijmy że B₂₁ i B₁₂ są stałymi zwi/ązanymi z prawdopodobienstwem stymulowanych przejść odpowiednio z 2 na 1 (emisja) i z 1 na 2 (absorcja). Wówczas liczba stymulowanych przejść z 2 na 1 w jwdn. czasu wynosi

N₂B₂₁u_n natomiast liczba przejśc z 1 na 2 wynosi N₁B₁₂u_n stałe A i B noszą nazwę stałych Einstaina. W stanie równowagi całowita liczba przejść z poz. E₂ na E₁ musi równać się przejściom odwrotnym.

Wykorzystując wzory na emisję spontaniczną i stymulowaną otrzymujemy wzór

N₂A₂₁+N₂B₂₁u_n=N₁B₁₂u_n

Z wyrażenia wyżej dostajemy związek na gęstośc energii prom.

u_n=N₂A₂₁/(N₁B₁₂-N₂B₂₁)

Korzystając z rozkładu Boltzmana

N₁/N₂=e^hn/kbT (6)

u_n=(A₂₁/B₂₁)_*(1/(N₁/N_{2 *} B₁₂/B₂₁-1)) (7)

Zgodnie z zasadą Plancka dot. zjawiska promieniwania muszą być spełnione następujące warunki

B₁₂=B₂₁

A₂₁/B₂₁=8Phn³/c³

Wykorzystując 6 i 7 mamy:

stym.emisja/spont.emisja=N₂B₂₁u_n/N₂A₂₁

Emisja stymulowana jest mniejsza od emisji spontanicznej jeżeli spełniony jest rozkład Bolzmanowski (E₁ <E₂) => N₂ <N₁

Aby uzyskać rozkład anty Bolzmanowski musimy pracować na układzie atomów nie w stanie równowagi

Zjawisko wzmocnienia są to pewne procesy w układzie atomów en. stymulowana> en. spontanicznej

medium optyczne - substancja w której propaguje promieniowanie. Należy w takiem medium zwiększyć populacje stanów o en. E₂ w stosunku do populacji stanów o en. E₁, czyli należy doprowadzic do osiągnięcia rzkładu antybolzmanowskiego. Gdy się go osiągnie, to mżna uzyskać zwiększenie intensywności wiązki emitowanej przez medium optyczne w stosunku do pierwotnej wiązki pobudzającej oznacza to że nastąpiło wzmocnienie indukowane emisji, która przewyższa straty związane z absorbcją. Taki układ laserowy charakteryzuje się nastepującymi własnościami:

1. emisja (promieniowanie) indukowana jest w tym samym kierunku co wiązka pierwotna

2. wiązka ta ma dobrze określone stałe w czasie przesunięcie fazoe, czyli jest wiązką spójną, i to spójną z pierwotną wiązką padającą

3. z praw elektrodynamiki wynika że w trakcie stymulowanych emisji wypromieniowany jest foton o takiej samej częstotliwości jaka była częstotliwość wiązki wymuszającej

Metody inwersyjnego obsadzania stanów energetycznych (uzyskiwania rozkładu antybolzmanowskiego)

1. pompowanie optyczne (laser rubinowy)

Naświtlamy układ atomów wiązką o E=hn powodując przejście ze stanu E₀ do E₂. Powrót z E₂ do E₁ to emisja laserowa. Zewnętzrne źródło swiatła jest wykorzystane do uzyskania inwersyjnego obsadzenia poz E₂ w stosunku do E₁ czyli zachodzi tzw. selektywna optyczna absorbcja

2. bezpośrednie pobudzanie elektronów

np. wyładowania w gazach (laser argonowy)

3. nieelastyczne zderzenia atomów

np.: wyładowania w gazach (kombinacje A i B muszą być takie gazy, które posiadają identyczne stany wzbudzania) laser helowo- neonowy

Wzbudzenie układy atomów do poziomu laserowego odbywa się droga pośrednią poprzez wyższy stan energetyczny E₃ (układ trójpoziomowy) lub E₄ (układ czteropoziomowy).

- układ energetyczny trójpoziomowy

- układ energetyczny czteropoziomowy

Układ trójpoziomowy lasera rubinowego

laser rubinowy

laser neodymowy

Liczba odkrytych przejśc laserowych w neonie wynosi ok. 140. Taki laser neonowy moze być źródłem spójnej fali elektronowej o zakresie długości od 0.58-133 mm.

Zjawisko laserowe zachodzi zazwyczaj w układzie rezonatora. Ośrodek optycznie czynny, czyli ośrodek lasera w kształcie walca umieszcza się w rezonatorze, który jest zbudowany z dwóch zwierciadeł płaskich lub sferycznych. Taki układ zwierciadeł powoduje, że promieniowanie zapoczatkowane w ośrodku optycznie czynnym rozchodzi się w nim wzdłóż osi walca wielokrotnie tam i spowrotem powodując wzmocnienie natężenia. Jedno ze zwierciadeł ma współczynnik odbicia R=100%, drugie R=80% (czyli współczynnik transmisji 15%). Pozwala to przepuścić na zewnątrz 5% promieniowania. Rezonator musi być tak dostrojony do długości fali wiązki wzmocnionej, żeby w obszarze L zawierała się całkowita liczba połówek długości fali, czyli 2L/l=n, n należy do C.Zazwyczaj L wynosi kilkadziesiąt centymetrów, l jest ułamkiem mikrometra, wówczas n~=10⁸.

Holografia

Zasada typowego odwzorowania holograficznego:

Oko ludzkie i inne przyrządy fotograficzne rejestrują obraz w wyniku zaburzenia padającej na nie fali elektromagnetycznej. Zaburzenia te są emitowane w określonych kierunkach, posiadają określony skład, a składowe fale mają określone polaryzację, amplitudę i fazę. Stan fizyczny rozproszonej wiązki światła charakteryzuje się różnym rozkładem nateżenia jeżeli taka rozproszoną wiązkę zarejestrujemy na kliszy fotograficznej lub materiale światłoczułym, to wyszukujemy informacje przede wszystkim na rozkładzie nateżenia i barwy. Zostaje natomiast nieuchwycona informacja związana z zaburzeniem fazy (róznica dróg optycznych), oraz stan polaryzacji fali świetlnej. Tym smym traci się efekty trójwymiarowości obiektu ze wszystkimi jej atrybutami:

a) głębią; b) perspektywą; c) paralaksą, czyli zapisany w ten sposób obraz nie jest pod względem optycznym równoważnym z przedmiotem, czyli przedmiot nie został zapisany w całości. Metody holograficzne pozwalają odtworzyć również atrybuty trójwymiarowości przedmiotu.

Paralaksa: widzenie przedmiotu ze wzgl. na kąt patrzenia na niego.

W ogólności holografię należy traktować jako metodę rejestrcji i rekonstrukcj pól falowych:

a) pól świetlnych;

b) mikrofal;

c) fal akustycznych;

d) elektronowych.

Proces tworzenia obrazu holograficznego składa się z dwóch etapów:

1-etap rejestracji pola świetlnego utworzony przez przedmiot. Rejestruje się zazwyczaj na płycie fotograficznej o dużej zdolnosci rozdzielczej. Naświetlona i wywołana płyta holograficzna stanowi hologram.

2-odtworzenie obrazu

a) spójna wiązka światła jest emitowana z lasera, np. helowo-neonowego.

b) wiązka jest rozszczepiana przez układ kolimatora S₁,S₂

c) w jednej połówce wiązki ustawiony jest przedmiot (przezroczysty)

d) w drógiej połówce wiązki ustawiony jest ? promieniowania, który odchyla cześć promieniowania i skierowuje go do przecięcia się z promieniowaniem przechodzącym przez przedmiot P

e) promieniowanie WO nie jest zaburzone przez przedmiot

f) promieniowanie WP przechodzi przez holografowany przedmiot

g) w miejscu przecięcia się obu wiazek powstają na płycie fotograficznej prążki interferencyjne (gdy nie ma przedmiotu to prążki interf. mają kształt równoległych linii na przemian ciemnych i jasnych, co wynika z procesu interferencji). Wstawienie pzedmiotu P do wiazki WP powoduje, że faza i amplituda tej wiązki w jej poprzecznym przekroju są modulowane odpowiednio do wystepujących w przedmiocie różnic dróg optycznych. W rezultacie tej modulacji fazowej i amplitudowej WP przez przemiot przezroczysty otrzymujemy na płycie fotograficznej poprzeczne prążki bardziej lub mniej zniekształcone (modulacja fazy) i o różnej intensywności (modulacja amplitudy). Taka płyta fotograficzna stanowi hologram, z którego można zrekonstruować obraz przedmiotu P.

Rekonstrukcja obrazu holograficznego

P_u-obraz urojony

P_R-obraz rzeczywisty

WO-wiązka odniesienia

W celu zrekonstruowania obrazu holograficznego wykorzystujemy taki układ jak poprzednio umieszczając hologram H w jego wiązce WO w strukturze prążkowej hologramu. Istotne znaczenie w powstawaniu obrazu P_u i P_R ma +1 i -1 rząd obrazu dyfrakcyjnego. Rząd zerowy, najbardziej intensywny, nie zawiera informacji o hologramie. Obrazy dyfrakcyjne są tworzone przez wiązki obu pierwszych rzędów dyfrakcyjnych, przy czym jedrn z nich tworzy obraz urojony P_u, a drugi obraz rzeczywist P_R. Najbardziej dogodny do obserwacji jest obraz urojony P_U.

Układ holograficzny do holografowania przedmiotu nieprzeźroczystego

Zapis hologramu przedmiotu niprzeźroczystego odbijającego światło w sposób rozproszony

Wiązka w_o jest wyobrębniona z rozszerzonej wiązki laserowej

Wiązka w_p nie przechodzi przez przedmiot tylko ulega rozproszeniu

Tworząc skomplikowany, niemal idealnie chaotyczny deseń interferencji na kliszy kolorowej. Wynika stąd że pkt. Q1,Q2,Q3... przed p reemitują fale sferyczne rozchodzące się we wszystkich kierunkach. W efekcie na każdy pkt. kliszy PF pada promieniowanie ugięte wszystkich punktów przedmiotu widziane pzrez płytę. W wyniku takiego procesu w karzdym miejscu płyty holograficznej jest zapisana cała informacja o przedmiocie. W efekcie można obraz przedmiotuy zrekonstruować nawet z małego kawałka hologramu.

W przypadku holografowania przedmiotu można również uzyskać takie same efekty jak w tym przypadku poprzez umieszczenie w biegu wiązki lasera zwierciadła przed holografowaniem przedmiotem przeźroczystym odpowiedniego dyfuzora.

Akustyka

Propagacja zaburzenia (dowolne fale)

x(x,E)=f(x+vt)- jeżeli zaburzenie propagujące w przestrzeni można zapisać taką funkcją, to dowolne zaburzenie x spełnia równanie fali (przypadek jedno wymiarowy)

x²x/¶t²=n²¶²x/¶x²

Fala akustyczna

zmiana ciśnienia w kolumnie gazu- propagacja gazu

El. objętości Adx zostaje poddany działaniu ciśnienia p*p' (kompresja) w efekcie powierzchnia A przesunie się o odcinek x a A' o x'

Element objętości ulega deformacji w wyniku której el. dx zmieni się w dx + dx gdzie dx = x' - x

udowadniamy, że są to procesy falowe

1. korzystamy z zasady zach. masy

rA(dx_*dx)=r₀Adx

r- gęstość gazu w stanie zaburzonym, po przekształceniu wzoru uzyskujemy

r=r₀/(1+¶x/¶x)

przyjmujemy że zaburzenie jest nieskończenie małe i wówczas

dla ¶x/¶x<<1 : (1+¶x/¶x)^-1@1(1-¶x/¶x)

czyli:

r-r₀=r₀¶x/¶x

w ogólnym przypadku:

p=p(r)

dla niedurzych kompresji ciśnienie p w stanie po wprowadzeniu zaburzenia rozwijamy w szereg Taylora wokół r₀

p=p₀+(r-r₀)¶p/¶r+1/2(r-r₀)²¶²p/¶r² | r=r₀

własnośći gazu są scharakteryzowane przez parametr ściśliwości c

c=r₀(dp/dr) | r=r_o

p=p₀+c(r-r₀/r₀)

wykorzystując powyrzsze równania otrzymujemy:

p=p₀ - c*(¶x/¶x)

jest to efektem rozpatrywania procesów zaburzeń zachodzących w gazie doskonałym pod wpływem fluktuacji ciśnienia zewnętrznego. w następnej kolejności należy rozpatrywać działania pól zewnętrznych będących źródłem propagacji fali akustycznej

F=(p-p')A

korzystając z 2 zas, dyn. siła F

F=-dpA

-dpA=r₀Adx_*¶²x/¶t²

z powyższego wzoru wynika

¶p/¶x=-r₀¶²x/¶t²

natomiast wzór p=p₀ - c*(¶x/¶x) można przekształcić w ¶²x/¶t²=(c/r₀)/(¶²x/¶x²)

Zgodnie z ogólnym równaniem na propagację zaburzenia współczynik przy ¶²x/¶x² jest równy V² a z tego wynika że V = sqrt(c/r₀)

Akustyka dot. słuchu

1. człowiek jest zdolny przyjmować w postaci dźwięku fale sprężyste od 16-20000 Hz

2. czułośc ludzkiego ucha nie jest jednakowa dla wszystkich częstotliwości

3. częstość ludzkiego ucha jest max dla fal sprężystych o częstotliwościach 1,5-3 kHz

fale o n <16 Hz nazywamy infradźwiekami (poddźwiękami)

fale o n >20 Hz nazywamy ultradźwiekami (naddźwiekami)

fale ultradźwiekowe rzędu 10⁹ Hz to hiperdźwieki

Akustyczne zjawiska liniowe - zjawiska związane z rozchodzeniem się fal sprężystych w ośrodkach ciągłych są liniowe gdy zaburzenia są małe w porówaniu z wielkościami określajacymi stan równowagi. Wielkości charakteryzujące pole akustyczne są do siebie wzajemnie proporcjonalne. Własności ośrodka są opisane przez wspólczynniki stałe i niezależne od wielkości zaburzenia.

Ampiltudy przesunięcia cząstki akustycznej w powietrzu w zakresie dźwięków slyszalnych są małe: od 10 ^-2 mm dla subiektywnie durzyzch dźwięków do 10 ^-9 mm dla natężeń ledwo słyszalnych.

Akustyczny ośrodek liniowy jest to ośrodek w którym przyjmujemy że zmiana gęstości Dr zachodzi pod wpływem Dp

r@r₀+dr

p@p₀+dr

Zasada liniowej superpozycji oznacza że 2 fale akustyczne gdy spotykają się mogą ze sobą interferować zgodnie z zasadą interferencji( jest to tzw. holografia akustyczna)

Liniowe źródła akustyczne: źródła są liniowe jeśli procesy w nich zachodzące nie zależa od amp\tudy drgań sygnałów przenoszonych

Fala akustyczna cechuje się podst. parametrami:

1. natężenie lub siła dźwięku które jest równe modulowej średniej wartości => gęstośc strumienia energii fali akustycznej

2. głośność dźwięku jest to wielkość subiektywna zależna od oceny siły wrażenia suchowego wywołanego falą akustyczną

3. głośność zależy od średniej kwadratowej ciśnienia p_e oraz od czułości ucha, gdy ciśnienie akustyczne p < p₀ (próg słyszalności) to dźwięk nie będzie słyszalny.

Próg słyszalności p₀ zależy od częstości dźwięku i ma wartość 2*10 ^-5 N/m² dla n=1,5-3 kHz, silne dźwięki wywołują uczucie bólu i min p₀ przy której odczuwa się ból nazywa się progiem bólu. Próg bólu zależy od częstości dźwieku i jest największy dla n=500-1000Hz i wynosi 200N/m²

obszar dźwięków słyszalnych

L=2k log(p_e/p₀) dla k = 1 L w belach dla k =10 L w decybelach

W celu porównania dźwięków o tej samej częstotliwości wprowadza się wielkość L zwaną poziomem ciśnienia akustycznego.

Poziom ciśnienia akustycznego =0 dla p_e=p₀, czyli dla poziomu słyszalności.

Rodzaje dźwięków

1.dźwięki tonalne lub muzyczne posiadaja liniowe widmo częstotliwości

2. szumy czyli dźwieki posiadające złoźone widmo częstotliwości

Zjawisko Doplera

zjawisko jest związane z częstotliwością fali akustycznej jeżeli źródłodźwięku lub obserwator poruszają się

n częstotliwość fali rejestrowanej n₀ częstotliwość fali emitowanej

jeżeli obserwator i źródło są w spoczynku to n= n₀ w innych przypadkach n różne od n₀

W czasie T₀ źródło przesunie się o odległość v₁ T₀. Wówczas odległość między dwoma sąsiednimi zagęszczeniami fali akustycznej liczone wzdłuż kierunku rozchodzenia się tej fali bedzie wynosiła

l₁=vT₀-v₁T₁

l₁=v/n₀-v/n₁=(v-v₁)/n₀

n₁= v/l₁= v/[(v-v₁)/n₀]

n₁=n₀ v/(v-v₁)

dla źródła z zbliżającego się do obserwatora v₁>0 czyli częstotliwość rejestrowana > od czestotliwości emisji, gdy źródło oddala się to odwrotnie, gdy obserwator porusza się w stronę źródła z v₂ to liczba n zgęszczeń fali akustycznej rejestrowana przez obserwatora jest równa

n=n₁+Dn

gdzie Dn jest dodatkową liczbą zgęszczeń rejestrowaną przez obserwatora w skutek przemieszczenia się w ciągu 1 s

Dn=1* v₂/l₁= v₂ n₁/v

n=n₁+ v₂ n₁/v

ostatecznie mamy:

n=n₀[(1+v₂/v)/(1- v₁/v)]

Pole magnetyczne materii

pole magnetyczne jest wytwarzane:

- przewodnik z prądem

- przez substancje zwane magnesami trwałymi i które w sposób naturalny są źródłami pola magn. mimo iż nie przepuszczamy przez nie prądu

Wszystkie substancje można podzielić na 3 rodzaje magnetyków: dia-,para-,ferro-magnetyki. ten podział jest związany z zachowaniem subst. w zewnetrznym polu magn. czyli w jaki sposób te subst. modyfikują zewnętrzne pole magn.

- diamagnetyk (bizmut, Cu, szkło) powoduje zmniejszenie zewn. pola magn. o czynnik około 10 ^-4

- paramagnetyki (Al., wolfram) powoduje zwiększenie zewn. pola magn. o czynnik około 10 ^-4

- ferromagnetyki (Fe, kobalt) mogą spowodować zwiększenie zewn. pola magn. o około 10 ²

diamagnetyki

do opisu zjawiska diamagnetycznego może być wykorzystany opis atomu Bohra - wyniki są taki same jak wyniki obliczeń mechaniczno- magn.

bez zewn. pola magn. równanie ruch elektronów wokół jądra zapisujemy następująco

m d²r/dt²=F_E

F_E- siła oddziaływania Culombowskiego między protonem i elektronem

F_E=1/4Pe₀*Ze²/r²

F_E=1/4Pe₀*Ze²/r²*^r

Z - kolejne liczba pierw. w układzie okresowym. F_E - jest siłą dośrodkową utrzymującą elektron w ruchu dookoła jądra

F_E=Ze²/4Pe₀r²=mw₀²r

w₀- częstotliwość ruchu własnego elektronów wokół jądra

w₀=sqtr(Ze²/4Pe₀r²)

przykładamy zewn. pole magn. B prostopadłe do orbity elektronu czyli || do w₀. Wówczas elektron będzie poruszał się pod wpływem wypadkowej 2 sił i równanie ruchu będzie następujące

m d²r/dt²=F_E+F_B

F_B=-e(v x B)

F_B=-eB x (w x r)

F_B=e w (B*r)-er(B*w)

F_B=-er(B*w)= -eBwr

z ostatniego wzoru wynika że F_B z jaką pole magn. działa na elektron jest równy siłą dośrodkową w efekcie otrzymujemy:

mw²r=Ze²/4Pe₀r²+eBwr

w²-eBw/m - Ze²/4Pe₀r²=0

w²-(eB/m)w - w₀²=0

jest to równanie na V kątową w ruchu el. wokół jądra pod wpływem efektywnej siły dośr.

Przyjmujemy że pod wpływem zewnętrznego pola magn. promień orbity nie ulega zmianie zmienia się tylko prędkość kątowa i wynosi

w=eB/2m+sqrt[w₀²+(eB/2m)²]

dla B =0 w=w₀ dla el. swobodnego tzn. gdy r-> Ą w₀²-> 0 i wówczas w=eB/Zm=w_c, wielkość ta to częstość cyklotronowa i opisuje ruch obrotowy swobodnego el. wokół zewn. pola B. Częstość cyklotronowa zależy od wartości pola B

w=w_c/2+sqrt(w₀²+ w_C²/4)

szacowanie wart. w_c i w₀

przyjmując typowy promień orbity r =10^-8 cm w₀=sqrt(Z)*1,5*10^-16 w_c=B*1,8*10¹¹ to dla bardzo silnych pól magn. wytworzonych w laboratoriach w_c<<w₀ dla konwencjonalnych pól możemy przyjąć że w_c<w₀ i wówczas

w=w₀+w_C/2

w_c/2=w_L- jest to tzw. częstotliwość Larmora

w=w₀+w_L

efektywnie widać iż pod wpływem zewn. pola magn. B przy założeniu niezmienności promienia orbity el. następuje nieznaczne zwiększenie V kątowej ruchu el. o wielkość zwaną częstotliwością Larmora

dla B antyrównoległego do w₀

w=w₀-w_L

powyższe dwa równ. obowiązują dla dowolnego kierunku pola B w stosunku do płaszczyzny orbity el. Widać że gdy dział zewn. pole B to każdy el., w atomie uzyskuje dodatkowy moment pędu

DL=mw_Lr²

DL=(er²B)/2

zgodnie z mach. kwantową można znależć związek między momentem pędu el. a jego momentm magn. , traktując el. w ruchu po orbicie jako elementarny, jednostkowy obwód elektryczny krążący po orbicie

p_m=eL/2m

wykorzystując wyliczony poprzednio moment pędu el. związany z działaniem pola B możemy wyliczyć wyindukowany przez pole magn. moment magn. el.

(p_m)_ind.=e²r²B/4m

dla każdego dowolnego el. w atomie w_L jest identyczne. Zależy tylko od B. Nie zależy od promienia orbity oraz ułożenia płaszczyzny w stosunku do pola B

wprowadza się wektor namagnesowania J zdefiniowany jako całkowity moment magn. jedn. subst.

J=1/ DV*_DVSp_m

J=nZ<p_m>

gdzie n jest liczbą atomów w jedn. objętośći, Z - liczbą el. w atomie. Średnia wartość p_m liczymy po wszystkich el. atomu i po wszystkich atomach w rozważanym el. objętości

<p_m>=-e²<r²>B/6m

w susbstancji diamagnetycznej pod wpływem zewn. pola magn. indukuje się w jedn. objętości moment magn. =

J=-nZe²<r²>B/6m

jest to wielkość przeciwnie skierowana do wartości pola B czyli powoduje zmniejszenie natężenia pola magn. efektywny moment diamagnetyczny zależy tylko od konfiguracji, rodzaju pierw., natomiast nie zależy od temp. diamagnetyzm jest związany z atomem

Paramagnetyzm

Istnieja substancje, w których atomy, względnie czastki/posiadaja różny od 0 mgnetyczny moment wyikajacy z zwektorowej sumy orbitalnego i spinowego momentu magnetycznengo elektronu. ZGdy zewnetrzne pol B=0 to w substancjach tych mikroskopowe momenty magnetyczne są różnie prawdopodobnie rozłozone w przestrzeni => mikroskopowy moment magnetyczny = 0

J(B=0)=0

W substancji paramagnetycznej nie wystepuje wzajemne oddziaływnie między momentami magnetycznymi cząstek. Porządkujący wpływ ma tylko zewn. pole magnetyczne, z tym, że porządkowanie to jest zaburzone przez ruch termiczny atomów lub czastek któremu odpowiada

e_B=k_bT

czyli energia termiczna

Wg. klasycznej teorii Langevina średni rzut momentu magnetycznego atomu na kierunek pola magnetycznego jest opisany wzorem:

<p_m>=p_m²B/2k_bT; k_b-stała Boltzmana

Atomy lub czastki paramagnetyczne uzyskują w zewn. polu magnetycznym B indukowany moment magnetyczny (diamagnetyzm) oraz posiadają swój własny moment magnetycznt wynikający z odpowiedniej konfiguracji liczb kwantowych, wobec czego moment magnetyczny przypadający na jednostkę objetosci bedzie superpozycją tych dwóch elementów.

J=n(p_m²/3k_bT - Ze²<r²>/6m)B

Dla diamagnetyka moment magnetyczny J nie zależał od temperatury, a zależy od rozmiarów atomu. Dla paramagnetyków zależy on od temperatury (odwrotnie proporcjonalnie).

Wektor H

Magnetyk znajdujący się w zewn. polu magn. B₀ wytwarza również własne pole magnetyczne B_M pochodzace od momentów magnetycznych atomów i czastek, np.: solenoid bedzie wytwarzał pole magnetyczne B₀ wskutek przepływu prądu i możemy je wyznaczyc z prawa Biota-Savarta. Jeżeli w solenoidzie jest magnetyk, to należy również uwzględnić pole B_M wytworzone przez magnetyk przy czym Bm jest funkcją j. Wprowadza się pojęcie wektora H który jest zdefiniowny w oparciu o prady swobodne tzn. prądy płynące w przewodniku w tym polu nie uwzgledniamy pradów magnesowania czyli efektów związanych z magnetyzmem materii. Wobec czego mamy 3 wektory H B i J

n=N/L

|B₀|=nm₀I=ni

W solenoidzie płynie prąd o natężeniu I solenoid składa się z n zwojów na jedn. dł. Solenoid traktujemy jako bardzo długi tym samym zaniedbujemy efekty brzegowe solenoidu tzn. wpływ niejednorodnego pola magn. solenoidu. jeżeli do solenoidu włożymy magn. to B₀ zwiększy się o pole Bm opisany dla paramagnetyka wzorem

B_M=m₀J

A więc całkowite pole :

B=B₀+B_M=m₀i+m₀J=m₀(iu_T+J)

B=m₀(nI+J)

Definiujemy wielkość H =

H=B/m₀-J=nI

która jest właśnie polem magn. związanym tylko z prądem płynącym w solenoidzie

H=B/m₀-J

wiadomo iż J jest ~ do B ogólnie można zapisać

J=c_BB/m₀

gdzie c bezwymiarowy parametr charakteryzujący dany magnetyk zaś J jest to moment magn. wyindukowany w magnetyku, związany z polem zewn. (B), z ośrodkiem w którym znajduje się ten magnetyk (m₀) oraz z rodzajem paramagnetyka (c)

historycznie przyjęto że

J=cH

powyższe wzory okreslają zależność między J i H oraz J i B. Parametr c nosi nazwę podatności magn. opisuje on odpowiedź subst. magn. na działanie zewn. pola magn. po dalszych przekształceniach otrzymujemy

B=m₀(H+J)

B=m₀(H+J)

oraz

B=m₀(H+cH)

B=m₀H(1+c)

wprowadzamy wielkość

m=1+c

wówczas

B=mm₀H

gdzie m nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej danego ośrodka

dla próżni c=0Ţm=1więc B=m₀H=B₀

Korzystając ze wzoru H=B/m₀-J oraz wykorzystując wzór J=c_BB/m₀ możemy zapisać:

H=(B-c_BB)/m₀

B=m₀H/(1-c_B)

B=mm₀H (m=1/(1-c_B))

istnieje związek między podatnością magn. c a współczynnikiem c_b ponieważ z eksp. wiadomo że c_b jest małe (10^-3) to wówczas z dobrym przybliżenmiem można przyjąć że c=c_b

Ferromagnetyzm

związany jest z własnościami budowy sieci krystalicznej a nie z własnościami atomów i cząstek. Istnieje pewna krytyczna temp. Curie Tc i powyżej tej temp. wszystkie ferromagn. stają się paramagn. Tc zależy od rodzaju ferromagn. Model ferromagnetyzmu jest opisany rachunkiem wynikającym z mach. kwantowej występują momenty magn. związane z atomami, ale ferromagnetyzm związany jest z wzajemnym oddziaływaniem sąsiednich atomów zachodzącym poprzez wymianę el. o spinach || dlatego pojedynczy swobodny atom pierw. ferromagn. nie posiada własności ferromagn. jest tylko paramagn.

Wektory J H i B nie są w stosunku do siebie jednoznacznie określone. Przenikalnośc magn. m w ferromagn. nie jest funkcją jednoznaczną zewn. pola magn. H Jest to związane ze zjawiskiem histerezy. Histereza występuje tutaj gdyż z wyników eksperymentalnych wynika że J zależy od histerezji próbki tzn. od kierunku przyłożenia zewn. pola magn. Ferromagnetyk jest charakteryzowny krzywą namagnesowania. Oznacza to że dla każdej wartości B i H można ustalić przenikalność m która jest funkcją H =

m(H)=B/m₀H

m-wzgl. przenikalność magn. któara dla pewnego pola H osiąga pewną wartość i ta wartość jest bardzo często traktowana jako podst. parametr charakteryzujący podst. własności ferromagn. Dla niektórych stopów może osiągnąć wartość 10⁶

Dla dalszego wzrostu H m od H ulega zmniejszeniu i w obszarze namagnesowania nasycenia osiągnąć może wartość jednośći czyli tak dla paramagnetyka

proces magn. ferromagnetyka

Jr- pozostałość magn.

H= H_k wówczas B=J=0 nazywa siępolem koercji lub natężeniem powściągającym

dla ferromagn. w ogólnym przypadku przebieg pętli histerezy (co do wartości pola H_k oraz pola powierzchni zawartej wewn. pętli histerezy) zależy od kierunku przyłożenia zewn. pola magn. w stosunku do pewnych wyróżnionych osi wewn. kryształu. Mogą być to osie związane z kierunkami krystalicznymi (dla monokryształów) lub tzw. osie łatwego lub trudnego magnsowania ferromagn. czyli które maogą być wyindukowane w procesie wytwarzania subst ferromagn. W ogólnym przypadku własności magn. feromagnetyka są anizotropowe namagnesowanie nasycenia odpowiada całkowitemu uporządkowaniu momentów magn. atomów próbki i jest funkcją temp oraz zależy od rodzaju materiału

a) przy magnesowaniu ze stanu B =H=0 do nasycenia gęstość en. pola magn. jest liczbowo = zakreskowanej pow.

b) przy rozmagnesowaniu zostanie zwrócona częśc en. - pow. zakreskowana

c) zmagazynowana w próbce en. = pow. zakreskowanej

przy pełnym obiegu pętli histerezy jej pow. dana całką całka pow. z HdB= en. wydzielonej przy tym obiegu w jedn. objętości (en. wydziela się w postaci ciepła )

Badanie pętli histerezy jest metodą na wyznaczanie podst. parametrów ferromagn. : J_nas czyli J nasycenia, pola koercji H i Jr czyli remanencji

w każdej subst. ferromagn. istnieje jakiś obszer w którym w skutek oddziaływania wymiennego wszystkie momenty magn. są do siebie || taki obszar nazywa się domeną ferromagn. i dwa sąsiednie uporządkowane obszary (nie w tym samym kierunku) - dwie sąsiednie domeny- przedzielone są tzw. ścianką domenową jest to obszar w którym zachodziproces porzemagnesowania od kierunków w jednej domenie do kierunków sąsiednich. Cała en. zewn. pola magn. w procesie magn. ferromagn. jest wykorzystana na porządkowanie kierunków w domenach zgodnie z kierunkami zewn. pola magn.

Zjawiska galwanomagnetyczne i termomagnetyczne czyli efekty związane z działaniem pola B na naładowaną cząstkę.

Schemat zjawiska Halla

dla q>0 I jest wzdłóż osi +x i F_B jest wzdłóż -y

Mamy płytkę płaskorównoległą, naładowaną (q<0) w której płynie prąd o nat. I. Płytkę ta umieszczamy w zewn. polu magn. B prostopadłym do płaszczyzny próbki. Okazuje się, że między krawędziami próbkiprostopadłymi do kierrunku przepływu prądu oraz wektora B pojawia się różnica potencjałów. jest to tzw. zjawisko Halla (odkryte w 1879r.). Ten efekt jest wynikiem działania pola B na ładunek w ruchu. korzystamy ze wzoru:

F_B=q(v x B)

Założenia: v=(v_x,0,0); B=(0,0,B_Z)

F_B=^iq(v_yB_Z-v_zB_y)+^jq(v_zB_x- v_xB_z)+^kq(v_xB_y- v_yB_x)=>F_B=v_xB_zq=qBv

F_B=qv_xB_z

Ładunki ujemne gromadzą się po jednej stronie płytki, wobec czego po drugiej stronie płytki ładuje się ona dodatnio.

Między 2 ściankami wzdłóż L_y powstaje pole elektryczne, które przeciwdziała dalszemu gromadzeniu się ładunków wskutek działania pola B, czyli w stanie równowagi zostanie ustalona różnica potencjałów, która jest cecha charakterystyczną rodzaju materiału przy zadanej wartości pola B. W stanie równowagi wypadkowa siła równa

F= F_B= F_E=0 jest równa 0.

E^y=v_xB_z

równanie to daje relację między wartościami pól elektrycznych i magn. w stanie równowagi, gęstość prądu wzdłuż osi x

j_x=nqv_xŢv_x=j_x/nq

=>E^y= j_xB_z/nq

1/nq=R_H - stała Poola

stała Poola zależy od gęstości ładunku n dlatego R_h jest tzw. stałą materiałową i jest równe

R_H=E^y/j_xB_z

dla el.Rh <0 bo q<0

wymiar Rh = Vm/AT

wprowadza się Uh zwane napięciem Hoolowskim

U_H=E^yL_y

podstawiając stałą Hoola

U_H=R_HL_yj_xB_z

j_x=I/S

U_H=R_HB_ZI/L_Z

wzór ten może być wykorzystany do skalowania źródła pola magn. B jeżeli znamy stałą Hoola próbki metalicznej wykorzystanej do cechowania pola, wyznaczymy sobie napięcie Hoolowskie Uh zadamy natężenie I i znamy grubość próbki. Takie urządzenie do cechowania pola magn. naosi nazwę halotronu w ogólnym przypadku należy w zapisie na wektor gęstości prądu j uwzględnić pewien rozkład wektora gęstości pradu v wektorów prądu związany z ruchami termicznymi czyli z rozproszeniem nośników prądu w związku z tym stała Hoola Rh = A/nq , gdzie A zależy od zjawiska rozproszenia nośników prądu w materiale. Z dobrym przybliżeniem można przyjąć że A=1 dla metali natomiast A>1 dla półprzewodników z tym że istnieją półprzewodniki dla których A=1 zależy to od struktury en. tych przewodników

R_H=1/nq

U_H=R_HIB_Z/L_Z

Jeżeli znamy wartość stałej Hoolowskiej to możemy wyznaczyć gęstość nośników prądu w danym materiale. Wielkości n i q występujące w def . stałej Hoolowskiej można wykorzystać do wyznaczenia ruchliwości nośników prądu

u=v/E

r=1/J

d=nqm

gdzie r opór właściwy J przewodniość właściwa

ruchliwość jest cechą próbki i jest parametrem bardzo istotnym, który determinuje własności oraz przydatność półprzewodników (tranzystorów i tym podobnych) w odpowiednich zastosowaniach

poza efektem Hoola wystepują jeszcze inne efekty galwanomagnetyczne zw. z działaniem zawn. pola magn. na nośniki prądu

1. zjawisko Righiego- Leduca (1887) rys

wzdłuż płytki prostopadle do pola B płynie strumień ciepła; na krawędzi płytki prostopadle do B i j pojawia się różnica temp.

T₁<T₂ (np. dla Fe) to jest dodatnie zjawisko R-L

T₁>T₂ (np. dla bizmutu) to jest to ujemne zjawisko R-L

Wyjasnienie tego efektu R-L jest oparte na modelu propagacji strumienia ciepła

2. Zjawisko Nersta (1886) rys

wzdłuż płytki prostopadle do pola B płynie strumień ciepła; na krawędzi płytki prostopadle do B i j pojawia się różnica potencjałów

V1<V2 (np. dla bizmutu) to jest to dodatnie zjawisko N

V1>V2 (np. dla Fe) to jest to ujemne zjawisko N

3. zjawisko Ettinghausena (1887) rys.

na brzegach pojawia się różnica temp o grad prostopadłym do B i j

T₁<T₂ (np. dla bizmutu) to jest dodatnie zjawisko E

T₁>T₂ (np. dla Fe) to jest to ujemne zjawisko E

zjawisko E towazryszy zawsze zjawisku Hoola

---