63270

Metoda eliminacji Gaussa

Idea metody: zastosowanie takiego sposobu eliminacji niewiadomych, który doprowadzi do układu z macierzą trójkątną górną.

[A]{X}={B}

1.    rozpisać układ i indeksem eliminacji (1)

2.    założenia: macierz jest nieosobliwa, a[^ * 0

_a(»)

3.    mnożenie pierwszego równania przez -4*? i odejmujemy od i-tego równania (i=2,3...n).

“ii

tak n-1 razy ostatecznie otrzymując układ:

^(1)x 12 *2	+	o u *3 + •		= 6<^l)
,(2) 22 ^X2	+	023*3 + '	- +<4»*n	= 6f>
		afl*3+ •
			(n) n ' y ^unn	=*r

otrzymujemy pierwszy układ zredukowany, (w pierwszym wierszu indeks iteracji (1) w pozostałych (2)).

(2)

4. powtarzamy czynności: a₂₂ * 0

„(i)

+

Współczynniki przy niewiadomych wyznacza się ze wzoru:

„(*)

IŁ. * _a^(k)

.(*) °ki

, gdzie k = 1,2,...,n — 1; ij = k + l,k + 2,...,n

* kiedy jeden z elementów głównych równa się 0 można przestawiać wiersze. Wdwóch przypadkach na pewno nie będzie to konieczne:

-    macierz [A] jest macierzą diagonalną > Z"=i|«/>| f= 1,2,...,ń)

-    macierz (A] jest symetryczna i dodatnio określona j*[A]=-i4^r (symetryczna)

{X}^r[i4]{X} > 0 ,dla każdego {X} > 0 (dodatnio określ.)

Kryterium Sylwestra:

Macierz [A] jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy det(I/ł_fc]) > 0 dla k =

1.2.....TL