78216

VIII. Rachunek różnicstkowy

Gdy punkt D na krzywej y — f(x) zbliża się do punktu A = (xo./(xo)), to sieczna AD obraca sie dokoła A zbliżając się do prostej

y - /(aro) = f'(x₀)(x - x₀).

Prostą tę nazywać będziemy styczną do wykresu funkcji f w punkcie xq.

Pochodna /'(x<)) jest równa tangeiusowi kąta o. jaki styczna do wykresu funkcji / w punkcie xq tworzy z dodatnim kierunkiem osi x.

Przykład 1. Rozważmy funkcję /(x) = y/x, x € (0. +oo). W punkcie xq = 4 mamy /(Xq) = 2 i

/(ar) - /(aro)    y/x - 2    x - 4    1    1

x—x₀ x — Xo x—a x-4    x—.4 (x - 4)(v/a* + 2) x—i_v/x + 2    1

Zatem istmeje pochodna /'(4) =    Rów^rnanie stycznej <lo wykresu funkcji / w punkcie xq = 4 ma

postać

y- ² = ^(ar-4).

YV punkcie x<j = 0 mamy /(xo) = 0 i

lim

X—xo

/(•r) ~ /(a-o)

x - x₀

= lim

x—*0

y/x - 0 x - 0

lun — — lim —7= — +oc.

X—0 X x-4) yjx

Zatem funkcja / nie jest różniczkowalna w punkcie xo = 0.

Definicja 3. Pochodną lewostronną i prawostronną funkcji f w punkcie xo nazywamy odpowiednio

/-(x o) = lim

/(ar) - /(x₀)

ar₀

/+(xo)= lim

/(ar) ~ /(aro) x-x₀

Twierdzenie 1. Na to. aby funkcja f miała pochodną w punkcie xo potrzeba i wystarcza, aby istniały w tym punkcie obie pochodne jednostronne i były sobie równe.

Przykład 2. Funkcja

dla x < 0. dla x ^ 0,

jest różniczkowalna w punkcie xq = 0. gdyż

/(*) ~ /(0) x - 0

/(*) ~ /(0) x - 0

/L(0)= lim

x—*0“

x²

lim — = 0.

x—0“ x

/;(0)= lim

x—0+

x°

= lim — = 0, x—o⁺ x

więc /!(0) = /;(0) = 0. Stąd pochodna funkcji / w punkcie 0 jest równa /'(0) = 0.

58