82162

sir 5

W1/2

Również wprowadza się pojęcie wykładnika zbieżności, a więc największej liczby p ( p £ 1 ) takiej, że

IMI ^SC(IMI)^P

gdzie e_k = a-x^(k),a C jest stałą nieujemną zależną zwykle od funkcji F. natomiast 11.11 jest pewną normą wektora.

Metoda Newtona

Założymy, że pochodne cząstowe funkcji fj(x,...... x_n) = 0, i = 1,2,... ,n są ciągłe

oraz że macierz Jacobiego

DF(x)=

—:^fi(^xi.....tNi)

dx

jest nieosobliwa w pewnym otoczeniu pierwiastka a (F(a) = 0). Jeżeli dobierzemy x <°> dostatecznie blisko a . to ciąg iteracyjny określony wzorem (metoda Newtona)

_x(k+i) = _x(k) -[DF(xOO)]-> F(x(k)> , k = 0,1, 2......

jest poprawnie określony (tj. istnieją macierze odwrotne [ DF(xO«))]->) oraz zbieżny do a. Przy dodatkowych założeniach o F uzyskujemy zbieżność ponadliniową z wykładnikiem p = 2.

Dla zadania skalarnego (n = 1) metoda ta pokrywa się z metodą stycznych.

Pojedynczy krok w metodzie Newtona realizujemy następująco :

1)    oblicz F_k = F(x<^k)), DF_ł5 = DF(x(^k>);

2)    rozwiąż układ równań liniowych, wyznaczając poprawkę p<^k>: DF_k pW - F_k

3)    podstaw x(^k+1)= x(^k> + pOO_