82284

4.8 Badanie funkcji

• Ustalenie naturalnej dziedziny funkcji, jeżeli dziedzina wcześniej nie została podana.

• Wskazanie podstawowych własności funkcji:

parzystość, nieparzystość. okresowość, miejsca zerowe, ciągłość.

• Obliczenie granice funkcji na "krańcach” dziedziny.

• Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.

• Badanie pierwszej pochodnej funkcji:

1. wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie

2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema

3. ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji

4. znalezienie ekstremów

• Badanie drugiej pochodnej, określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji orazwyznaczenie punków przegięcia

• Sporządzenie tabelki

• Sporządzenie wykresu funkcji

Przykład 4.34 Zbadać przebieg zmienności funkcji:

f(x) = x²e~^z , g(x) = x + 2arcctgx

5 Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Niech A będzie pewnym przedziałem w TZ. Rozpatrujemy funkcje f : A -* Tl.

Definicja 5.1 (funkcja pierwotna)

F € D^l(A) jest funkcją pierwotną funkcji f jeśli (Vx € A) F'(x) — f(x)

Wniosek 5.1 Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f . to ( VC £ 71) G = F + C też jest funkcją pierwotną funkcji f

Wniosek 5.2 Dwie różne funkcje pierwotne F i G tej samej funkcji f różnią się w całym przedziale o stałą.

Dowód:

(Vx e A) f(x) = F^l(x) = G'(x) <=► (3C € K) (Vx € A) (F(x) - G(x) = C) Definicja 5.2 (całka nioznaczona)

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy

f f{x)dx