82320

skąd po redukcji otrzymamy — e² = xe^x czyli — = e²

dx    dx

r -x²    -x²    ,    ,

u(x) = |e² dx = e² +C₂ podstawiamy to do równania (**) otrzymując końcowy wynik

i ,

y = e*‘ +C₂e²*

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU y'+ay =be^(X Przewidzenie y, = me^Cx lub y_t = (mx+n)e^c*

PRZYKŁAD

— —2y =2e^ix dx

Przewidujemy: y, = me³

dy_x

Obliczamy z tego pochodną    • =3me^J*

dx

dy

Wartości y_x i ——^L podstawiamy do pierwszego równania : 3me** — 2me** =2e³* dx

Skąd po uproszczeniu przez e* znajdujemy m=2 Podstawiając m do równania na y_x otrzymujemy y,(x) = 2e³*

,    ,    dy

Obliczamy teraz całkę ogólną równania uproszczonego : — — 2y = 0 Po rozwiązaniu mamy: y₂ = C_xe²*

Całka ogólna całego równania to yi+y₂ czyli y = 2e³* +C,e²*

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU    =W_n(x) gdzie a jest liczbą stałą, a W„(x)

jest wielomianem stopnia n

PRZYKŁAD:

— + 2y = x* dx

Przewidzenie : y_x = ax² +bx + c dy.

Obliczamy pochodną -7“ = 2ax + b dx

Podstawiamy powyższe wartości do pierwszego równania: 2ax + b + 2ax² + 2bx + 2c = x² Przyrównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x otrzymujemy związki: 2a=l; 2a+2b=0; b+2c=0; z tego mamy :

1 ₂ 1 1 y, = — x — x + —

2    2    4

Rozwiązujemy teraz równanie jednorodne ^ + 2y = 0 i 2 tego mamy y₂ = Ce~^2x Całka ogólna ma więc postać yi + y2 tj. y = — x² - — x+ — +Ce~^2x

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TY PU y'+by =c sin ax+n cos ax PRZEWIDZENIE : y_x =msin ax + ncosax