88466

i) Jsin⁴ xdx ; j) Jsin^bxdx.

Całkowanie funkcji wymiernych.

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu (być może równego zeru) i funkcji ——~,

x)

gdzie <p(x) i \y(x) - wielomiany, takie że stopień <p(x) jest mniejszy od stopnia Vj/(x). Załóżmy że wielomian \y(x) ma pierwiastki Xi, Xn. Wielomian rozkłada się więc na iloczyn czynników postaci (x-x_j)^k‘, gdzie k, jest krotnością pierwiastka x,, dla i = 1,n oraz pewnej ilości nierozkładalnych czynników postaci (ax² + bx + c)^k, ,    <Ax)

gdzie A=b*-4ac<0. Funkcja ^ rozkłada się wtedy na sumę tzw. ułamków prostych. Każdemu jednokrotnemu

A

pierwiastkowi x, odpowiada ułamek postaci _x__x > każdemu k- krotnemu pierwiastkowi x, odpowiada k

ułamków:

B₂

x-x,’    (x-x,)²'    (x-x_tY

(tzw. ułamki proste pierwszego rodzaju). Pojedynczemu

nierozkładalnemu czynnikowi R=ax² + bx + c odpowiada tzw. ułamek drugiego rodzaju

Mx + N ax² + bx + c

, a

M,x + Nj M₂x+N₂

czynnikowi postaci R =(ax‘ + bx + c) odpowiada k ułamków (II rodzaju) postaci    +    * (_ax² +bx + c)^:

M. x +N.

, gdzie A, Bi, .... Bk, M, N, Mi, .... Mk, Ni, ...,Nk są liczbami rzeczywistymi. Do scałkowania

* ■*" (ax²+bx+c)^k mamy więc wyrażenia:

la)    — dx = Aln|x-x,|+C    _;    ib)    f-—7<fc = -T“7-,k>2;

’    ^Jx-x,    ' ^J (x-x.V    k-1 (x-x.)^{k l}

nb) J;

Mx + N

dx

,    ,    C ^

, w szczególności Ila)    —r

(x-x_tY

Mx + N

dx.

(ax + bx + c)    ^J ax +bx+c

W całkach IIb) i Ila) przede wszystkim wydzielamy część, w której licznik jest (z dokładnością do stałej) pochodną trójmianu w mianowniku - w tym celu dzielimy licznik (Mx+N) przez pochodną trójmianu czyli (2ax+b) - otrzymujemy pewien iloraz (oczywiście jest to M/(2a)) i pewną resztę - powiedzmy r. Ponieważ całka, w której licznik jest pochodną trójmianu występującego w mianowniku, liczy się łatwo - pozostają do obliczenia całki

Jj—• Niech R=ax²+bx+c, A=b²-4ac. Mamy J~r    ^ ^    ^+C rozwa^^aneS°

Jdx _

^—

2ax+b (4k—6)o r dx

Jax

, k>l.

R“    A(k-l)R^kl A(k —1) ^J R

(Stosowania wzorów rekurencyjnych możemy uniknąć, stosując tzw. metodę Ostrogradskiego - zob. niżej.)

1) Obliczyć całki: aO) f ^    ; al) J _y(, _y2 f** ? a) f

3x“ +8

-dx

4#F 4j

• «*> J

-dx

c) J-J---dx_; d) J r---dX; c) f 2 ^X+l-dx_;f) J ^X+2-dx-g) f²* + 6x³+l

^Jx²+2x+2    ^J x² +2x-ł-5 ^Jx²+2x + 5    x²+2x+5 ^J x⁴ +3x²

r 1    ,    _c x²    f (2x + 3)dx r 4dx    r dx    r dx

ml) J T~ T^dx; m2) f—5-; n)    5- ; o) I —7- ; p) I ~~5-TT; ul) J -T~T \

'^J(x²+1)^{3    ,J}(x²+l)^3    ,Jx³+x²-2x ^Jx³+4x ^F,Jx²(l + x²)²’^F'^Jx(l+x²)²’

Jdx    r    dx    r    dx

--;s) I ~:-—-— t) —-. Metoda Ostrogradskiego:

l _{+ x}³’ 'Jx(x+l)(x+2)    ⁹ J x²(x+l)(x + 2)    ^B    B

r P(x)    P,(x)    r P₂(x)

I dx =    + I    dx, gdzie P(x) ,Q(x) - wielomiany; Qj(x) - wielomian, mający te same czynniki

Q(*)    Qi(^)    Q2V*)

nierozkład. co Q(x), ale każdy z nich występuje w pierwszej potędze; Qi(x)=Q(x)/Q2(x); st. Pi(x) < st. Qi(x), st. P^x) < st. Q2(x); Pi(x) i P^x) znajdujemy różniczkując wzór i przyrównując współczynniki.