95905

ELEKTRONIKA

MATEMATYKA/2st(MAP1058)

LISTA 2. (Zmienne losowe wielowymiarowe, warunkowa wartość oczekiwana.)

1.    Niech (fi. F.P) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech A będzie ustalonym zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim. Pokazać, że funkcja Pa określona na F wzorem Pa(B) = P(B\A) jest miarą probabilistyczną.

2.    Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie „6’'. Interesuje nas ilość wyrzuconych po drodze „5”. Opisać to doświadczenie za pomocą dwu zmiennych losowych i znaleźć ich rozkład łączny.

3. Wektor losowy (X, T) ma następujący rozkład łączny:

P(X = 0,V = -2) = 0.1; P(X = 0, Y = 0) = 0; P(X = 0. Y = 1) = 0,2; P(X = 2, Y = -2) = P(X = 2, Y = 0) = 0,2; P(X = 2, Y = 1) = 0.3. Czy X i Y są niezależne?

4. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X. Y) o dystrybuancie F(x, y). gdzie:

a) F(x,y) =

l—e~^x—e~^v+e~*~^v

0

dla 0 < x, 0 < y poza tym.

b) f(x, y) =

{

_e-(x⁷+y²) gdy x² + y² < 1, 0    poza tym.

5.    Dobrać stalą C tak, aby funkcja F(x, y) = (    ^{+ y) <lk} <’ < x < ¹. 0 < tf < 2

10    poza tym.

była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y). Czy A' i Y są niezależne?

6,    Dobrać stalą c tak. abv funkcja }(x.y) = M¹ + ») dla 0 < x < 1, 0 < y < x,

'    ( 0    poza tym

była gęstością pewnego wektora losowego (X, T). Obliczyć następnie P(X² + Y² < 1) i współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y. Czy X i Y są niezależne?

7.    Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma rozkład jednostajny na zbiorze {(x, y) : 0 < x, y < 1, y > x + \ lub x - \ < y < j:}.

a)    Sprawdzić, że rozkłady brzegowe są jednostajne na przedziale [0,1).

b)    Czy zmienne losowe X^r i Y są niezależne?

8.    Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X”. Y) zadana jest wzorem

f{iy) =    ^(x2+y2). a) Obliczyć P(X > 1). b) Obliczyć P(X² + r²<l).

9.    Rzucamy dwa razy monetą. Rozważamy <r-ciało generowane przez zdarzenie A - "wypadły dwie reszki”. Zmienna losowa X równa jest liczbie otrzymanych orłów. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem rozważanego <7-ciała.

10.    Rzucamy dwa razy kostką. Rozważamy cr-ciało generowane przez zdarzenia A\. A₂, gdzie A_x - "suma oczek nie przekacza 4”, A₂ - "suma oczek wynosi przynajmniej 10”. Zmienna losowa X równa jest wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek na kostkach. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem rozważanego <r-ciała.

11.    Q = (0,1] i P jest miarą Lebesguea. Rozważamy <r-ciało generowane przez zbiór liczb wymiernych i zmienną losową f(x)=x². Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem rozważanego (7-ciała.

12.    R = [0,1] i P jest miarą Lebesguea. Rozważamy o^--ciał o generowane przez zbiory postaci [^y. £) i zmienną losową f(x) =x. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem rozważanego <7-ciała.

2