3582328136

ELEKTRONIKA

MATEMATYKA/2st(MAP1058)

LISTA 1. (Miara i całka Lebesgue’a w Rⁿ, przestrzenie liniowe, rozwinięcia ortogonalne.)

1.    Niech X będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Pokazać, że rodzina zbiorów

A={A e 2^x: A jest zbiorem przeliczalnym lub A jest zbiorem przeliczalnym} jest a-ciałem.

2.    Pokazać, że funkcja n określona na rodzinie zbiorów A z zad.l jako 0, gdy A jest zbiorem przeliczalnym oraz 1, gdy A jest zbiorem przeliczalnym jest miarą.

3.    Pokazać, że podzbiór zbioru miary Lebesgue’a zero jest zbiorem miary Lebesgue’a zero.

4.    Pokazać, że każdy zbiór przeliczalny jest miary Lebesgue’a zero.

5.    Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji f_n(x) = oraz zbieżność punktową ciągu (f_n(x)).

6. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji f_n(x) — n²x( 1 — ar²)” oraz zbieżność ciągu f f_n(x))dx

7. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji f_n(x) = nx(l — ar²)ⁿ oraz zbieżność ciągu ( / f_n(x))dx

8.    Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni generowanej przez wektory (3,1,0, —1), (1,0,1,1), (6,2,3,0), (1,0, —2, —1).

9.    Podać bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań układów równań:

x + 2y    + Zz    —    t—    0    i x    + 2y    +    Zz    —    t =    0

< 3ar 4- Gy 4- 7z    =0    <    4- Gy 4- 7z    =0

x 4- 2 y    + 4 z    4-    2t=    0    ( x    4*    +    4-    2t =    0

10.    Sprawdzić, że    zbiór V    =    {p £    R^ar]    :    p(l)    4-2/(0)    —    f/(l)    4-    ^/'(O)}    jest    podprzestrzenią liniową

przestrzeni wielomianów stopnia 4. Znaleźć bazę w V i okrelić jej wymiar.

11.    Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2ar,..., sin nx jest układem liniowo niezależnym w przesztrzeni funkcji ciągłych na [0, 2tt] .

12.    W przetrzeni R² zdefiniowany jest taki iloczyn skalarny o, że ei o e₂ = 1 oraz |ei| = je^ | = 2.

Obliczyć uov, jeżeli u — (2, —1) oraz v — (3,5).

13.    Znaleźć rzut ortogonalny uq wektora u — (1,0, —1) na podprzestrzeń V — lin{(2, —1,0), (0,2,1)}.

14.    Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2x,..., sin nx jest układem ortogonalnym w przesztrzeni L²([0, 2tt]).

15.    Sprawdzić, że funkcja / o g = /(—1)#(—1) 4- f(0)g(0) 4- /(1)<?(1) określa iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów stopnia 2. Wyznaczyć rzut ortogonalny wielomianu f(x) — x² na podprzestrzeń generowaną przez funkcje ei(x) — 1, e₂(x) — x.

16.    W przestrzeni L²([0,2tt]) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f(x) — sin 2x na podprzestrzeń generowaną przez funkcje ei(x) — sin x, e₂(x) — cosx.

zespolonej oraz widmo amplitudowe i fazowe

17. Wyznaczyć szereg Fouriera w postaci rzeczywistej następujących funkcji:

			’ 0	dla	1 < |i| < 2},
>wmo-{SJ3?	dla |t| < dla \t\ >	2) h{t) = i	2 1	dla dla	1*1 < 1. t——\ lub t = \

. okresowo dla \t\ >2,

1