3784490866

12

M. Brodzki, D. Walczak

WL

2 Al

E “kTiir t J (»^(k)<»)² -t.

k»0    O

(10)

loc

O.

O

k e {o

> O dla k > 1,

i}

Można sprawdzić, że funkcjonał określony wzorem (9) spełnia aksjomaty

normy [^8], zatem przestrzeń liniowa wl²'**’¹ Jest przeatrzenię unormowano.

loc

Uwaga

Przy sprawdzaniu aksjomatu (( | f fl - O) => (f •» 0 )), gdzie symbol

2 dt X

0 oznacza zerowy element przestrzeni wl_J_ * , zachodzi konieczność ope-

loc    i

rowsnia klasami równoważności funkcji f e WL ^ w sencie normy (9), co

loc

się domyślnie zakłada i nie wprowadza sio dodatkowych oznaczeń klasy równoważności w celu uniknięcia komplikacji wzorów (co zresztę stosuje się powszechnie w literaturze, por. np. Qe]).

Dowód zupełności przestrzeni WL^^', przeprowadza się w nsstępujęcynh, kolejno po sobie występujęcych etapiSRr

1. Oznaczajęc przez WL^2,k* k e {o,...,l} zbiory pochodnych funkcji

2^Cl

loc

loc

f G WL

w zbiorach tych w sposób analogiczny do stosowanego wprowa

dza się strukturę przestrzeni liniowej 1 normę określonę wzorem:

I*

(k)

WL

2j,k

loc

_T f (f^(k)(t))² dt.

(11)

2 w

Przestrzenie liniowe i unormowane WL ⁹ z normę (ll) sę klasycznymi

loc

przestrzeniami Marcinkiewicza    więc sę one zupełne.

2. Pomiędzy normami określonymi wzorami (lO)_# (ll) zachodzi zależności

	i
I • II 2*1 2|CC#.l loc	* z k-0	i-	2 k * WL ^9* loc		(12)
zatem zbieżność cięgu	Cauchy^#ego	(f(M)	e wL^2,k , k e {o,.. loc

w każdej z wymienionych przestrzeni implikuje zbieżność cięgu Cauchy^vego

G    w przestrzeni    zgodnie ze wzorem *

loc    loc

lim

n->oo

f-f

n «

loc

^ lim

n -h

1

Z-J

k»o

(13)

loc