3784494689

okręgu (rys. 3). Zatem na mocy równości (3),

CD DA

(6)    CD² = DFDB = DEDA, skąd

DE CD

Trójkąty ADC i CDE mają wspólny kąt przy wierzchołku D, więc na mocy równości (6) trójkąty te są podobne. Stąd

$CED = $ACD = A5°.

Sposób IV

Niech F będzie rzutem prostokątnym punktu D na prostą AB (rys. 4). Wykażemy najpierw, że punkty C, E, F są współliniowe. W tym celu wystarczy udowodnić, że

ED DF'

Na mocy twierdzenia Talesa mamy następujące równości:

(8) ^B° ³

(7)

DF BD 2

Należy więc dowieść, że AE:ED = 3:2.

Oznaczmy: AB = AC = a. Obliczmy długości odcinków AE i ED w zależności od a.

Na mocy twierdzenia Talesa AF =    oraz DF = |a. Zatem z twierdze

nia Pitagorasa AD= ^ay/E. Trójkąty prostokątne AFD i AEB mają wspólny kąt przy wierzchołku A, więc są podobne. Zatem AE _ AF AB~ AD'

= AD — AE = ^ay/5 — ^ay/5 = ^ay/E,

skąd wyliczając wielkość AE otrzymujemy AE = ^ay/5. Ponadto ED =

skąd AE:ED = 3:2. Dowód równości (7) został zakończony, co oznacza, że punkty C, E, F są współliniowe.

Ponieważ $.BED = $.BFD = 90°, więc na czworokącie FBDE można opisać okrąg (rys. 4). Zatem

$CED = $AEF - 90° - $FEB = 90° - $FDB = 90° -45° = 45°.

Zadanie 4. Dane są takie liczby rzeczywiste x, y, że liczby x + y, x²+y², x³ + y³ i x⁴ + y⁴ są całkowite. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba xⁿ + yⁿ jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Ponieważ

2 xy = (x + y)² — {x² + y²)    oraz    2 x²y² = (x²+ y²)²— (x⁴ + y⁴),

36