4672948906

Podstawowe własności figur geometrycznych

Podstawowe własności figur geometrycznych

będzie środkiem ramienia AD.

Korzyvtamy tutaj z twierdzeń odwrotnego do tw. Talew.

AM BK    .

M6~ KD    '■

bo M. AT to Środki odcinków. tf*d MK || AS.

Odcinek MK łączy środki ramion trójkąta ABD. więc jest równoległy do jego podstawy- AB.

Z twierdzeoLi odwrotnego do tw. laleu. AM Al .

m^c ir - ’•

iłgd Ml || CD

80 podstawy trapezu równolegle.

Odcinek ML łączy środki ramion trójkąta CD A. więc jest równoległy do jego podstawy CD.

Skoro AB jest równoległy do CD. to także ML jest równoległy do MK.

Dwa odcinki równolegle do trzeciego sg równolegle do iiebśe.

Ale mają one wspólny koniec M. dlatego L leży na odcinku MK i LK jest równoległy do MK. a więc także do podstawy trapezu.

4. TWIERDZENIE PITAGORASA

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przcciwprostokątncj.

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TW. PITAGORASA

Jeżeli w trójkącie suma kwadratów dwóch boków jest równa kwadratowi trzeciego boku. to trójkąt jest prostokątny.

Wszystkie powyższe twierdzenia służą do rozwiązywania trójkątów.

ZADANIE I

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach /f(l. 5). B{3. 2). C(-6. -4) jest prostokątny.

Rozwiązanie:

C (- 6. - 4)

4(1.5)

W rozwiązaniu zadana skorzystamy z następującego rozumowania: jeili po obliczaniu dlugoici boków danego trójkąta okaże się. że kwadrat którego! boku jest równy sumie kwadratów boków pozostałych, to zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do tw. Pitagorasa dany trójkąt będzie prostokątny.

£(3.2)

(rysunek pełni rolę pomocniczą)

Najpierw policzymy długości boków trójkąta.

Przy obtoaniu dlugoici korzystamy ze wzoru: A8 r-    '(W-rf- 9<W«    /)■

for/)-

\ĄB? I=?

AB = [3 - 1,2 — 5)= [2.-3]

\A&| = AB = V2^ł + (-3 Y =    = VT3

Czyli \AB\ = \T3

l£0 = ?

BC - [-6 - 3, -4 - 2] = (-9, -6)

\BĆ\ = BC = V(-9)> + (-6)^? = \Sf+36 = \TT7

Czyli tfC=\ffl7

4C-?

4Ć* = [-6 - 1,-4-$] = [-7. -9)__

|4Ć*| = 4C = \^-7)⁷ + (-9 Y = n<49 + 81 = V130

Czyli 1AC\ = \130 Teraz należy zauważyć, że

{ABY + {BC? - (ACy, bo

Po podniesieniu do kwadratu:

(Vl3)⁷ + (NTT7)⁷ = (nT30)⁷ 13+ 117= 130 130= 130

55