2567802543

istnienia rozwiązania rownan różnicowych w przestrzeniach Banacha wyposażonych w słabą topologię badano na przykład w [6, 7, 59].

Głównym celem pracy (16) jest zbudowanie teorii, która łączy istnienie słabych rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego dla przypadku ciągłego i dyskretnego. Uzyskany wynik łączy zagadnienia istnienia słabych rozwiązań dla przypadku dyskretnego, nie tylko dla stałego odstępu czasu (Hz), ale również dla zmiennych odstępów czasu (KQ).

Zakładamy, że funkcja / jest słabo - słabo ciągowo ciągła o wartościach w przestrzeni Banacha i spełnia pewne warunki wyrażone w języku słabej miary niezwartości DeBlasi’ego [47].

Wprowadźmy podstawowe oznaczenia i definicje.

Niech T oznacza skalę czasową tzn. niepusty domknięty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych R ze standardową topologią przestrzeni rzeczywistej [71-72].

Najpopularniejszymi przykładami obliczeń na skali czasowej są: rachunek różniczkowy, jeśli T = R, rachunek różnicowy jeśli T — N oraz rachunek kwantowy dla T = q^N° = {q^[: t E N₀},q > 1. Przez I_a oznaczam, w tym rozdziale, przedział na skali czasowej tzn.

I_a = [0,a] nT = {tET:0<t<a} = [O.ajr.

Zdefiniujmy operator skoku w przód g:T -* T jako <r(t) = inf[s E T: s > t] i skoku w tył p:T -*T jako p(t) = sup{s E T:s < t}. Operatory te klasyfikują punkty na skali czasowej w następujący sposób: jeżeli u(t) = t, to t nazywamy prawostronnie gęstym, jeżeli <r(t) > t, to t nazywamy prawostronnie rozproszonym. Analogicznie operator p daje nam punkty lewostronnie gęste (gdy p(t) = t) oraz lewostronnie rozproszone (gdy p(t) < t). Jeżeli p(t) = t = <r(t), to t jest punktem gęstości. Jeśli natomiast p(t) < t < a(t), to t jest punktem izolowanym.

Definicja 2.13. Mówimy, że funkcja k:T -* E jest rd- ciągła jeżeli k jest ciągła w każdym punkcie teT prawostronnie gęstym oraz granica lim_ k(s) istnieje i jest skończona w każdym lewostronnie gęstym punkcie teT.

Zdefiniujmy teraz pojęcie A (V) - pochodnej, punkcie teT Definicja 2.14. Niech teT oraz niech f : I_a -* E. Wtedy przez A - pochodną funkcji f rozumiemy granicę

Funkcję f nazywamy A -różniczkowalną na T, jeśli dla każdego teT istnieje /^A(C).

Analogicznie

_f\t) = iim£&

Funkcję f nazywamy V-różniczkowalną na T, jeśli dla każdego teT istnieje /^v(t).

Zauważmy, że

(1)    /^A = /^v = f, w przypadku gdy T = R,

(2)    /^A = A/, f^v = Vf w przypadku gdy T = N,

15