1375663335

„Metody rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych - twierdzenie Banacha o punkcie stałym i jego uogólnienia”

Bartosz Kuśmierz, Uniwersytet Wrocławski i Politechnika Wrocławska, Filip Dowgrid, Politechnika Wrodaw-

Niektóre twierdzenia matematyczne uchodzą za szczególnie estetyczne. Jest tak, gdyż pomimo relatywnie prostych założeń, dają bardzo mocne tezy. Bez wątpienia jednym z takich twierdzeń jest twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Mówi ono, iż każde ciągłe przekształcenie z euklidesowej, domkniątej kuli na siebie ma punkt stały.

Twierdzenie Brouwera zalicza się do tak zwanej klasy twierdzeń o punkcie stałym. Bardzo ważnych twierdzeń stosowanych w teorii równań różniczkowych. Idee w nich zawarte sż szeroko stosowane do pokazywania istnienia, a w niektórych wariantach także jedyności, rozwiązania danego zagadnienia. Nawet najprostsze, w swoim sformułowaniu, twierdzenie z tej rodziny - twierdzenie Banacha o kontrakcji jest wykorzystywane przy dowodzie twierdzenia Picarda-Lindelófa.

Bardzo ważne wśród tych twierdzeń, są te pochodzące od Schaudera i Leray-Schaudera. W kontraście do twierdzenia Brouwera, zastępuje sią w nich założenie o euklidesowości przestrzeni na bardziej abstrakcyjną przestrzeń Banacha, wymaga jednak, by przekształcenie było nie tylko ciągłe, ale i zwarte.

Zastosowanie twierdzenia Banacha o kontrakcji i jego uogólnień przy rozwiązywaniu równań różniczkowych będzie przedmiotem tej pracy.

„Twierdzenia o istnieniu Równowagi Nasha”

Małgorzata Grzyb, Uniwersytet Łódzki

Teorie gier (TG) można scharakteryzować jako naukę o strategicznym działaniu w warunkach konfliktu i kooperacji. Jest zbiorem rozwazan stosowalnych przez podmioty w sytuacjach strategicznych. Jest narzędziem ułatwiającym zrozumienie zjawisk i interakcji zachodzących miedzy ludźmi i innymi podmiotami. Jest formalnym, uniwersalnym jeżykiem unifikacji nauk behawioralnych. Opisuje formalnie sytuacje, w których podmioty współzawodniczą lub współpracują. TG została po raz pierwszy sformalizowana matematycznie w monografii J. von Neumanna, O. Morgensterna. Obecnie TG jest stosowana w wielu dyscyplinach nauki, od biologii po nauki polityczne. Równowaga Nasha (RN) jest centralnym pojęciem teorii gier strategicznych. Zaprezentuje twierdzenia o istnieniu Równowagi Nasha. Powiemy również co to jest gra strategiczna oraz