3754969706

11

1.4. KRZYWE W PRZESTRZENI Er

Fakt 1.4.3. Niech c: I —» R³ sparametryzowana łukowo, niezdegenerowana krzywa. Jeśli wektor e₃ w układzie Freneta jest stały, to c jest krzywą płaską.

Dowód. Zakładamy, że e₃ stały. Korzystamy z wzoru na różniczkowanie iloczynu skalarnego:

(c, e₃y = <c', e₃) + (c, e'₃)

Zauważmy, że z wzorów Freneta mamy w szczególności, że:

<c', e₃) = 0

natomiast z założeń wiemy, że e₃ jest stały, więc e₃ = 0. Wiemy więc, że:

(c, e₃)' = 0 =r> (c, e₃) = D € R- stała.

Załóżmy, że daną mamy jakąś parametryzację c postaci: c(t) = (x(t),y(t),z(t))

oraz, że wektor e₃ jest postaci:

e₃(t) = (A,B,C).

Wiemy więc, że:

{c,e₃) = ((x(t),y(t), z(t)),(A, B,C)) = D a to dokładnie oznacza, że:

Ax(t) + By(t) + Cz(t) = D

co dowodzi, że każdy punkt krzywej c leży na płaszczyźnie danej równaniem: Ax + By + Cz = D

□

Stwierdzenie 1.4.4. Niech c: I —* R³ będzie łukowo sparametryzowaną krzywą niezdegenerowaną. Następujące warunki są równoważne:

(i)    c jest krzywą płaską,

(ii)    t = 0,

(iii)    c leży w płaszczyźnie równoległej do swej płaszczyzny stycznej,

(iv)    wszystkie płaszczyzny styczne do c pokrywają się.