kartka06b

5. Niech T: R^:i —> R³ będzie przekształceniem liniowym takim, żc X(1,0.0) = (2,4,1), T(1,1,0) = (3,0.2) i T(i,l, 1) = (1,4.6). (a) Obliczyć T(5, 3, 2). (b) Wyznaczyć T(xi,X2,X;s) dla (xi, x-2,    ) 6 R³.

6. Przekształcenie liniowe T: R? —+ R² jest takie, że T(2,3) = (4,6) i T(4, —1) — (—8,2). Wektor (—5,3) przedstawić jako kombinacie liniowa wektorów (2,3) oraz (4, —1) i następnie obliczyć T™{—5,3) (gdzie T²(x) = T{T(x)) i ogólnie T^k+l(x) = T(T^k(x)) dla k e N).

7. Przekształcenie liniowe T: R⁴ —> R⁴ określone jest wzorem T(x, y, z, 1) = (z + 3y + 2z + 31, y — z + 21. 2a; + 5y + 5z + 51, cc 4- 4y + z + 41). Wyznaczyć przestrzenie Ker T i IrnT. Wskazać także ich bazy i wymiary.

8. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego T: i?.³ —> i?³ względem baz B i C przestrzeni R³, gdy T(j:,y! z) = 0x- + 2y + 3^,ar,y + z), B = ((1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)) i C = ((0, 1,1), (1. i, 0), (1, 0.1)). Dodatkowo, sprawdzić równość [x]_c — [T]£[x]_B dla wektora x = (2,2,2). Wyznaczyć także dim Ker2' i rząd macierzy \T]q.