3685665573

Odp. Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie: z = i, w = 1. c) Stosujemy metodę wyznaczników.

. _    |    2 + .    2->    | _    ₍₂₊ .)    _{3+ .j _ ₍₁ _ .j (₂ _    _ _{6 + 2i + 3j +}j

| 1 — i 3 + i 6 + 5i — 1 — (2 — 3i — 1) = 5 + 5i — 1 + 3i = 4 + 8i.

- 2i + i²) =

66 — a + (2a — 3b)i 2 -i a + 96 + (a + 36) i 2 + i |

3 a—ai+6 ai+2 ai² — (2a—ai+2ai—ai²) = 2 + i 66 - a + (2a - 36)i I k₂~* 1 — i a + 96 + (a + 3b)i \

W_z =

W_w =

—a + 2 ai 2 — i a + ai 3 + i

= (—a + 2ai) • (3 +i) — (a+ai) ■ (2 — i) =

-3a+5ai—2a—(2a+ai+a) — —5a+5ai—3a—ai — —8a+4ai. , I 2 + i 66 — 36ż |

= (2 + i) - (96+36i) — (1 — i) • (66 — 36i) =

| 1 — i 96 + 36i |

186+66i+96ż+36i²—(66—36ż—66i+36i²) = 186+156Ż—36—(66—96z—36) = 156+156i-36+96i = 126+2464.

Zatpm 7 — łH —    ~8a+4ai    _    8ai²+4ai    _ ai(4+8i) _    ■    _    _    12b+24bi    _    3fe(4+8i)    _    ,,

z-atem z — _w —    _4+8i    —    _4+8i    —    _4+8i — at,    w —    _w    —    _4+8i    — _4+8i    —    óo.

Odp. z = ai oraz w = 36.

d) Mamy, że ^    = 2*+I* =    = \ + K T+i = ri+Tftł^iJ ⁼ T*TF = HT = \ ~

5    _    (2—»)(2+t)    _ 2±i    _    (2+j)²    _    4+4i+i² _    4+4i-l    _    3 ,    4 •    2    _    2    _    2    _    2.    _

(2—i)^{2 —}    (2—i)^2    — 2—i    ^—    (2—i)(2+i) ^—    2²+l^2    —    5    ^—    5 ^    5⁴’ (1+i)^2    — l+2i+i^2    —    l+2i-l    ^—    2i    ~

⁼^j- = —i. Zatem nasz układ ma postać:

(i + io*

(i + s*)*

+ (ł^_

\i)w = 2 iw = 3

Rozwiążemy go metodą wyznaczników:

W = \ l 1 5	+ł-+ łi	2	2* | .	- -§>' - Ji	^2-(| +	jod	i - ¥)	5* ^+ 5 10 ^+ 10*
10^1 1 10	110		o* 10*		10^1	2	2*i
^w-=\l		2^l	| = -2i -	2^2®“'	^3 1i 2 2^4’
Ww = 1	+ 5* + \i	2 3	= 3.(1	+ 40-2(1	l+s*)^= f		6 8,- 5 5^1	= —|i = —i. Zatem 2 =	w*. - ~?+ł» _ ^w -=¥=¥*-
3—i (3—i	O(i-i)		3—3i—i+i'	^1 2—4i	1 ó-		W...	-i 2i 2i(l—i)
1+i (l+i	Od-*)		l^ł+l^2				W	irrii i+i (i+i)(i-i)
Odp. z	= 1 -	-2 i	oraz w -	= 1 + i.

e) Stosujemy metodę wyznaczników:

VF= ^{1+1 1_!} | = (H-i)²-(l-j)³ = l + 2i + i²-(l-2i + i²) = 4i,

| 1 — i 1 +1 |

M'. = ,^{1 +} *    = (l+i)²-(l+3i)(l-i) = l+2i-H²-(l-i+3i-3i²) = l+2i-l-(l+2i+3) = -4,

| 1 + Al 1 + i |

W_w = J \    ^    = (l+4)(l+3i)—(l+i)(l—i) = (l+i)(l+3i—i+i) = (l+i)-4i = 4i+4i² = —4+4i.

| 1 — i 1 + 3i |

Zatem z = ^- = =^ = ^ = i oraz w = ^    = ⁴ⁱ²£^4t = i + 1 = 1 + i.

Odp. z = i oraz w = 1 + i.

Zadanie 5. Udowodnij tożsamości:

a) \zi + z₂\² + \zi - z₂\² = 2(|z!|² + |z₂|²), b) |1 + z^l² + |*i    - z₂\²_ = (1 + N²)    • (1 + |z₂|²),

c) \zi +z₂\² = |zi|² + 2re(ziż5) + \z₂\², d)    •

Rozwiązanie. Będziemy korzystali z tego, że z • z = |z|² dla dowolnej liczby zespolonej z. a) |zi + Z2I² = (z\ + z₂)zi + z₂ = (z\ + z₂)(zl + z₂) =    z\ź{ + Z1Z2 + z₂zi    + z-izi, \z\ —    z₂\²    =

(z\ — z₂)z\ — z₂ = (zi — z₂)(z\ — Z2) = zizT — Z122 — z₂zi + z₂z₂. Zatem |zi + 221² + \zi -    z₂\²    =

2{ziźi + z₂z$) = 2(\z_x\² + \z₂\²), cnd.

3