4834887623

5.    Rozważamy konstrukcję interpolacyjnej funkcji sklejanej drugiego stopnia, s(x) = Lto diN?(x), której węzły są liczbami naturalnymi, Ui = i dla

i = 0,..., N, reprezentowanej za pomocą funkcji B-sklejanych N?. Warunki interpolacyjne (tj. wartości fmikcji, Sk = s(Vk)) są zadane w punktach Vo = 2, v_k = k +11 dla k = 1,..., N — 4 i v_N_₃ = N — 2. Wiedząc, że N?(i + x) = Nq(x) dla każdego xeR oraz i £ {0,..., N — 3}, a ponadto Nq(x) = 0 jeśli x ^ 0 lub x ^ 3, oraz Nq(^) = Nq(2^) = |, Nq(1) = Nq(2) = j i Nq(1j) = |, napisz układ równań, którego rozwiązanie jest wektorem współczynników di poszukiwanej funkcji.

6.    Które z podanych na wykładzie metod rozwiązywania układów równań liniowych mogą być użyte do rozwiązania układu równań liniowych:

a)    Z poprzedniego zadania.

b)    Układu równań normalnych dla regularnego liniowego zadania najmniejszych kwadratów z liczbą niewiadomych nie przekraczającą 100.

c)    Układu równań z wielką macierzą (n x n, gdzie n. > 10⁴) symetryczną

i dodatnio określoną, która ma w każdym wierszu mniej niż 20 niezerowych współczynników rozmieszczonych nieregularnie.

W każdym przypadku napisz, z uzasadnieniem, która z tych metod wydaje się najbardziej odpowiednia.

7.    Podaj najmniejsze n, takie że błąd aproksymacji jednostajnej funkcji f(x) = sinx w przedziale [—471, 47t] przez optymalnie dobrany wielomian stopnia n. jest mniejszy niż 1. Odpowiedź uzasadnij, powołując się na stosowne twierdzenie.

8. Całkę

chcemy przybliżać kwadraturą o postaci

Q(f) = A₀(f(-1) + f(l)) + A, (f (—a) + f(a)).

Dobierz liczbę a i współczynniki A₀, A] tak, aby otrzymać kwadraturę o największym rzędzie. Podaj oszacowanie błędu tej kwadratury, jeśli funkcja f ma w przedziale [—1,1] ciągłą pochodną czwartego rzędu i istnieje stała M4, taka że dla każdego x £ [—1,1] zachodzi nierówność |f^,4'(x)| ^ M4.