5466967422

83.    Znaleźć rozwinięcie Taylora w punkcie x = 1 — do wyrazów drugiego rzędu, z resztą w postaci Lagrange’a — funkcji f(x) = sin(7r/x), x ^ 0.

84.    Znaleźć wszystkie lokalne minima i maksima funkcji /: R² —> R, zadanej wzorem

f(x, y) = (1 + e^y) cos x + ye^y .

85.    Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni opisanej równaniem

x² + 2 y² - z³ + xyz -2 = 0

w punkcie (2,1,2).

86.    Znaleźć kres dolny i górny funkcji f(x, y, z) — xyz na sferze jednostkowej {(x, y, z) € R³: x² + y² + z² = 1} .

87.    Znaleźć kres górny i dolny funkcji f(x, y) = x³ + y³ na zbiorze {(x, y) € R²: x² + y² < 1}.

88. Korzystając z twierdzenia Fubiniego obliczyć y^j e ^x2 dxj . Następnie, używając otrzymanego wyniku, znaleźć wartość funkcji T Eulera,

T(s) := f t^s *e ¹ dt

Jo

w punkcie s = 5.

89. Zbadać, czy funkcja F: R² —* R określona wzorem

F(x,y) =

dla (x,y) -fi (0, 0), dla (x,y) = (0, 0)

jest różniczkowalna w punkcie (0, 0).

90.    Wykazać, że funkcja /: R² —> E określona wzorem f(x,y) = |e^x — y\(e^x — 1) jest różniczkowalna w punkcie (a, b) € R² wtedy i tylko wtedy, gdy e^a / ó lub o = 0, b = 1.

91.    Wykazać, że jeśli ciąg liczb rzeczywistych a_n jest zbieżny do skończonej granicy a, to

+ 02 + • • • + fln hm -= a.

n-*+00    n

Podać przykład, który świadczy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

92.    Sformułować nierówności między średnimi: arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną liczb dodatnich 01,... ,a_n. Udowodnić, że dla każdych liczb naturalnych k i m zachodzi nierówność

^k+”'Zk^rn ■ m^k < ^    .

93.    Sformułować nierówności między średnimi: arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną liczb dodatnich 01,... ,a_n. Udowodnić, że dla każdych liczb naturalnych k i m zachodzi nierówność

“ 2

Uwaga: Wszystkie rozwiązania równań różniczkowych w zadaniach 94-112 rozważane są na maksymalnym przedziale, na którym można je określić.

94.    Znaleźć wszystkie rozwiązania równania — = \/x spełniające warunek x(0) = 0.

7