5755073611

W mojej pracy interesuje mnie funkcjonał kosztu w postaci zagadnienia Mayera, czyli zadany wzorem V = (f>(T,x(T)).

Istotą zagadnienia sterowania w ogólnym sformułowaniu jest znalezienie takiego sterowania, dla którego odpowiednia trajektoria po pewnym czasie T będzie znajdować się w zbiorze docelowym. Zbiór docelowy to domknięty podzbiór Sclx M".

Zagadnienie sterowania optymalnego polega na tym, by doprowadzić układ do celu, wybierając odpowiednie sterowanie dopuszczalne w taki sposób, by po czasie T wartość funkcjonału kosztu była możliwie najmniejsza. Poprzez zmianę znaku funkcjonału kosztu na przeciwny można badać wartość funkcjonału zysku. Wtedy poszukiwana jest wartość możliwie największa. Zagadnieniem w mojej pracy jest właśnie znalezienie maximum dla funkcjonału zysku.

Pomocnym narzędziem przy znajdywaniu rozwiązania optymalnego jest funkcja Hamiltona: H(x,p,u,t) = p ■ f(t,x,u). Z funkcją Hamiltona związane są następujące równania Hamiltona:

OH

Równania Hamiltona pojawiły się w hamiltonowskim sformułowaniu mechaniki. Okazuje się, że są one ważne również w teorii sterowania. Druga para równań (dla x) to, jak łatwo zauważyć, równanie (2.1), zaś pierwsze (dla p) to równania na tzw. zmienne sprzężone, pojawiające się w sformułowaniu Zasady Maksimum Pontriagina.

Kolejne istotne pojęcie jakie wprowadzę to zagadnienie optymalizacyjne w postaci Mayera. Jest ono postaci

max <f>(T,x(T,u)),    (2.2)

u€U,T> 0 ^{V V} "    ^V '

z warunkiem początkowym

®(0) = x

oraz końcowym

(T,x(T)) € S,

czyli wartość funkcjonału kosztu $ zależy tylko od końcowego czasu T i punktu trajektorii x(T).

Jeżeli czas końcowy jest ustalony to zagadnienie można zapisać w postaci

maxó(x(T,u)),

utzlJ ^T

z warunkiem początkowym

x(0) = x

x(T) € S.

oraz końcowym

12