5910202077

10

I. PRZESTRZENIE BANACHA

W przestrzeni R³ sytuacja jest odmienna, kulą jednostkową w normie || ||i jest ośmiościan, a w normie || ||oo sześcian, nie ma zatem odwzorowania liniowego przeprowadzającego jedną z figur na drugą. W przestrzeni Kⁿ, n > 3, jest jeszcze gorzej, pierwszą z kul jednostkowych jest wielościan o 2n wierzchołkach, a drugą wielościan o 2ⁿ wierzchołkach.

1.17. Przykład. Pokażemy, że przestrzenie co i c są izomorficznie topologicznie. Pokażemy też, że izometrycznie izomorficzne nie są.

Jest rzeczą jasną, że odwzorowanie T : co —> c, określone wzorem

T(xi, X2, £3,...) = [x\ + X2,    + £3, X\ + £4, ...)

jest algebraicznym izomorfizmem tych przestrzeni a jego odwzorowanie odwrotne T^-1 : c —» cq ma postać

T ¹(x₁,X2,X₃,...) = (2:0,3:! - 10,3:2-2:0,2:3 - 2:0,...),

gdzie £0 = lim^oo^. Ponieważ ||T£|| < 2 ||£|| dla £ 6 co i ||T^-1£|| < 2 ||£|| dla £ G c, więc oba odwzorowania są ciągłe.

Dowód drugiego ze stwierdzeń jest znacznie trudniejszy. Należy wykazać, że żaden z algebraicznych izomorfizmów tych przestrzeni izometrią nie jest. Dla każdego konkretnego izomorfizmu T można zapewne nietrudno wskazać taki element £, że ||T£|| ^ ||£'||, ale dla wszystkich izomorfizmów takiego uniwersalnego elementu nie ma. Uciekniemy się wobec tego do podobnego rozumowania jak poprzednim przykładzie, pokażemy mianowicie, że domknięta kula jednostkowa K przestrzeni c ma bardzo wiele wierzchołków, a domknięta kula jednostkowa Kq przestrzeni co nie ma ich wcale, nie można zatem w sposób izometryczny przeprowadzić jednej na drugą.

Hasło „wierzchołek kuli K” zastąpimy jednak bardziej precyzyjnym „punkt ekstremalny kuli K”. Z definicji jest to każdy punkt x G K, którego nie można przedstawić w postaci x = Xy+(1 — X)z dla pewnych y, z €. K, y ^ z iO<A< 1, tj. punkt, który nie leży wewnątrz żadnego odcinka

{Xy + (1 - A)z : 0 < A < 1}

łączącego dwa różne punkty y i 2 kuli K. Jest jasne, że każda izometrią przeprowadza punkty ekstremalne jednej kuli na punkty ekstremalne drugiej kuli.

W domkniętej kuli jednostkowej K przestrzeni c punktami ekstremalnymi są wszystkie te punkty x = (£1, £2, £3, • • •), dla których \x_n\ = 1, n = 1,2,3, —