6442373936

Rozdział 2

Transport struktur algebraicznych

Zanim przejdziemy do dyskusji ważnych - z matematycznego i przede wszystkim fizykalnego punktu widzenia - przykładów struktur wymienionych wyżej, wprowadzimy ważne pojęcie odwzorowania transportującego strukturę algebraiczną z dziedziny na przeciwdziedzinę.

DEFINICJA 10. Przyjmijmy notację Def. 1 i 2. Homomorfizm¹ struktury algebraicznej    ,<f>^. ,4^) w strukturę algebraiczną (tego

samego typu) (S^, <f>^ > 0*^»• • • > 0^) to odwzorowanie pomiędzy ich nośnikami,

X :

zgodne z obecną na nich strukturą algebraiczną w sensie wyrażanym przez rodzinę diagramów przemiennych:

{sMy^k*—-—

^:    xi=i x    ^x •

(SW)**->

Wyróżniamy następujące typy homomorfizmów:

•    monomorfizmy, czyli homomorfizmy injektywne >-> S^;

•    epimorfizmy, czyli homomorfizmy surjektywne S-»■

•    izomorfizmy, czyli homomorfizmy bijektywne,    ^g » S^ I

•    endomorfizmy, czyli homomorfizmy wewnętrzne    O);

•    automorfizmy, czyli bijektywne homomorfizmy wewnętrzne.

A

Należy w tym momencie przypomnieć, że odwzorowanie / : X —*■ Y ze zbioru X w zbiór Y jest

•    injektywne, gdy dla dowolnych x,y e X zachodzi implikacja

/(*) = /(y) =>•* = »;

•    surjektywne, gdy prawdziwe jest zdanie

^yeY    • U ⁼ /(^O j

1

Homomorfizm to algebraiczna specjalizacja fundamentalnego w teorii kategorii [ML71] pojęcia morfizmu. Oto więc w naszych rozważaniach miejsce ogólnej klasy obiektów zajmuje klasa zbiorów z ustaloną strukturą algebraiczną, w roli zaś morfizmów, tj. odwzorowań pomiędzy obiektami zachowujących definiujące własności kategorii, występują homomorfizmy.