8107620625

Tablica 7: Zawartość składników w poszczególnych produktach oraz minimalne ilości

	Pj	P2	Pa	minimalne ilości
A	1	2	1	2
B	4	1	1	4
C	3	5	1	3
ceny	240	300	200

Problem ten rozwiążemy metodą sympleks w rozdziale 5.

4.4 Problem najtańszej diety

Zadanie sprowadza się do określenia, jakie ilości różnych produktów żywnościowych należy spożyć, aby przy pełnym zaspokojeniu potrzeb organizmu na podstawowe składniki odżywcze i kalorie, koszt wyżywienia był możliwie najniższy. Problem ten może być stawiany w odniesieniu do ludzi (stołówek, pojedynczego człowieka) oraz zwierząt domowych czy hodowlanych. Aby zaspokoić potrzeby organizmu należy spożyć odpowiednie ilości różnych składników odżywczych - białka, węglowodanów, tłuszczów, soli mineralnych, witamin, które są zawarte w różnych produktach żywnościowych. Te pożądane ilości składników pokarmowych podane są w tzw. normach żywieniowych.

Załóżmy, że jest m składników odżywczych oraz bi,...,b_m norm żywieniowych. Mamy do dyspozycji n produktów. Przez ay, i G Ni_im, j G Ni,„, oznaczmy zawartość i-tego składnika w jednostce j-tego produktu. Znamy też ceny poszczególnych produktów C\,...,Cn. Należy wybrać taki skład mieszanki żywieniowej, która ze wszystkich dopuszczalnych byłaby najtańsza. Jeśli szukane ilości poszczególnych produktów oznaczmy przez X\,... ,x_n, to otrzymamy model

C\X\ + ... + CnX_n —> min OjiXi + ... + a\_nx_n > b\

:    (4i)

Qml^l + • ■ • + Cl_mnX_n > b_m

X\,... ,x_n > 0.

W problemie tym mogą występować jeszcze ograniczenia określające górne granice spożycia niektórych produktów, np. aby dieta nie była zbyt monotonna. Oznaczmy dj - minimalna ilość j-tego produktu, jaką powinno się spożyć, gj - maksymalna ilość j-tego produktu, jaką organizm może otrzymać i dołączmy do modelu nierówności

dj < Xj < gj , j G Ni,_n.    (42)

Przykład 6 Ustalić optymalną rację żywnościową dla bydła w gospodarstwie. W skład racji wchodzą 3 produkty: kiszonka, siano i pasza treściwa. Produkty te zawierają następujące składniki odżywcze istotne ze względu na zapotrzebowanie organizmu zwierzęcego: białko, wapno i witaminy. Zawartość tych składników w 1 kg poszczególnych produktów wyrażona w gramach oraz minimalne dobowe normy zapotrzebowania na nie przedstawia tabela 8. Górne granice spożycia poszczególnych produktów wynikające z dostępności pasz wynoszą: kiszonki - 20 kg, siana - 10 kg, pasz treściwych - 15 kg. Ceny 1 kg poszczególnych produktów: kiszonka 200, siano 300, pasze treściwe 500.

14