8416072474

Będziemy omawiać tu jedynie interpolację przy pomocy wielomianów trygonometrycznych - interpolację trygonometryczną - dla następującego układu węzłów równoodległych, leżących w przedziale [0,r]

27r

Xk =-k. k = 0,1, • • •, n.

n + 1

(1.17) Zadanie interpolacji trygonometrycznej.

Poszukujemy wielomianu trygonometrycznego stopnia < n

T_n(x) = ±_Cje j=o

spełniającego warunki

(1.17)    T_n(x_k) = f{x_k) & = 0,1, — ,n

dla układu równoodległych węzłów Xk = k.

Twierdzenie 1.6 Zadanie interpolacji trygonometrycznej (1.17) ma jednoznaczne rozwiązanie.

Dowód. Aby wyznaczyć wielomian T_n, możemy rozwiązać układ równań liniowych algebraicznych, z którego wyliczymy współczynniki

Cj, j = 0,1, • • • ,n.

Łatwo zauważyć, że macierzą tego układu jest, podobnie jak poprzednio, macierz Vandermonda utworzona dla n + 1 różnych liczb Zk = e^lXk, k = 0,1, • • •, 7i, a więc jest to macierz odwracalna. □

Wygodnie będzie oznaczyć funkcje bazowe rozwinięcia wielomianu T_n

fyiz) ⁼ j = 0,1, • • •, n.

Zdefiniujemy również, dla funkcji /, g określonych w rozważanych tu węzłach, iloczyn skalarny

(/.9) = Y,f(x_k)g(x_k).

k=0

17