img046

100 Ł Parametryczne testy istotność:

omawiać. Zajmiemy się tu i w § 2.9 jedynie przypadkami mającymi zastosowanie w ogólnej statystyce, nie tylko doświadczalnej. Omówimy najpierw prosty' przypadek analizy wariancji w tzw. klasyfikacji pojedynczej. Sumę kwadratów wariancji ogólnej rozbija się tu jedynie na dwa składniki mierzące zmienność między grupami (populacjami) i wewnątrz grup. Porównując testem F wariancję między grupami z wariancją wewnętrzną grup rozstrzygamy, czy średnie grupowe różnią się istotnie od siebie czy nic. Jeżeli podział na grupy np. przebiegał ze względu na różne poziomy badanego czynnika, to można w ten sposób wykryć wpływ poziomu na efekt wartości badanej cechy.

Test analizy wariancji zwykle przeprowadza się według określonego schematu, ujętego w postaci tzw. tablicy analizy wariancji, mającej różną liczbę wierszy w zależności od konkretnego schematu, ale kolumny zawsze następujące:

Źródło Z/mejmości	Suma kwadratów	Stopnic swobody	Wariancja	Test F

Do tabelki tej wpisuje się odpowiednie dane liczbowe obliczone z wyników próby* Dzieląc odpowiednią sumę kwadratów' przez stopnie swobody otrzymujemy pewne oceny wariancji, które porównujemy testem F z wariancją resztową na przyjętym poziomic istotności. Jeżeli    to efekt

danego czynnika jest istotny.

Należy wspomnieć, że testy analizy wariancji mają bardzo liczne zastosowania między innymi -w analizie regresji.

Podamy teraz model analizy wariancji dla klasyfikacji pojedynczej. Testem podanym w tym modelu weryfikuje się hipotezę, że średnie wartości wielu populacji są takie same. Potrzebne w tym teście założenie jednorodności wariancji można sprawdzić testem Jłartletta omówionym w § 2.7.

Model. Danych jest k populacji o rozkładzie normalnym N(m,. a,) (i= 1,2, ...,k) lub o rozkładzie zbliżonym do normalnego. Zakłada się przy tym, że wariancje wszystkich k populacji są równe, tzn. <Ą=a\ = ...= =al**o² (lecz nie muszą być znane). Z każdej z tych populacji wylosowano

niezależnie próby o liczebności ^ elementów. Wyniki prób oznaczone są przez x_ti (i— 1,2,    /=!, 2, ...>«,) przy czym x,_;=«,+£_i;, gdzie

£_;; jest wartością zmiennej losowej nazywanej jk/a/ńitfcwytt losowym, mającej rozkład ff{0, <x|. Na podstawie wyników x_fj należy zweryfikować hipotezę H_c: m_x = m₂ = ...=m_k wobec hipotezy alternatywnej H_t: nie wszystkie średnie badanych populacji są równe.

Test istotności (analizy wariancji) dla tej hipotezy jest następujący. Obliczamy z wyników poszczególnych prób średnie grupowe x_t, i średnią ogólną x:

(2.15)    -f*_y dla i — 1,2, — , k»

j-i

(2.16)    *=— £    gdzie n= £ n_f.

w i«l I    i= 1

2 kolei obliczamy odpowiednie sumy kwadratów i wypełniamy wartościami liczbowymi następującą tablicę analizy wariancji; występująca w niej statystyka F raa przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład F Snedecora o k—l i n-k stopniach swobody:

j Źródło 1 zmkrcnoici	Sama kwadratów	Stopnie swobody	Wariancja	Test F
między populacjami (jrupemi)	t	*-*	Ji	^f=t\
wewnątrz grup (składnik lo&owy)	» “* X X (xu-X,)* 1-1 /-I	«-A	ii

Obliczoną w tablicy analizy wariancji wartość F porównujemy w końcu z wartością krytyczną F_x odczytaną z tablky rozkładu F Snedecora dla ustalonego z góry poziomu istotności a i dla. odpowiedniej liczby k — 1 oraz n-k stopni swobody. Spełniona ma być przy tym równość P {F^FJ = =*• Jeżeli w wyniku porównania otrzymamy nierówność F^F_X> to hipotezę }J_Q o równości średnich w badanych populacjach należy odrzucić. Natomiast gdy F<F_ąt to nic ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.