img028 2

64 11. Parametryczne testy istotności

^2.19. Dokonano za pomocą sklerometni 42 niezależnych pomiarów •wytrzymałości gotowych elementów konstrukcji żelbetowych, i otrzymano następujące wyniki (w kG/cm²): 413, 551, 342, 123, 370, 250, 503, 438, 203, 505, 372. 249, 285, 339, 439, 154, 262, 372, 149, 275, 299, 305, 452, 320, 460, 392, 436, 272, 263, 379, 309, 432. 358, 453, 416, 454, 374. 445, 400, 466, 315, 373, Zweryfikować na poziomic istotności 'jl— 0,001 hipotezę, że średnia wytrzymałość gotowych elementów konstrukcji żelbetowych wynosi 300 kG/cm². Czy uzyskany wynik jest korzystny dla praktyki?

2.20, Dokonano 22 niezależnych pomiarów strat z osypania się ziarna żyta w wylosowanych gospodarstwach rolnych w 1966 r. i otrzymano następujące straty (w procentach): 6,05. 5,89, 5,82, 6,31, 5,26, 5,81, 6,40, 5,92, 6,12, 6,03, 5.47, 5,64, 6,06, 5,87, 5,69, 5,88, 5.49, 5,87, 5,83, 5,75, 5,97, 5,79. Przyjmując poziom istotności a = 0,01 zweryfikować hipotezę, że średni procent strat z osypania się ziarna żyta wynosi 5,5. Czy wynik testowania jest korzystny dla rolnictwa?

§ 2.2. TEST DLA DWÓCH ŚREDNICH

Podstawowe wyjaśnienia

W praktycznych zastosowaniach statystyki zachodzi bardzo często potrzeba sprawdzenia hipotez dotyczących równości wartości średnich •w dwóch populacjach normalnych. Typowymi sytuacjami jest tu wspomniane już w £ 2J porównanie proponowanej metody nowej ze starą, populacji zdrowych z populacją chorych itd. Wprawdzie można porównywać też całe rozkłady badanych dwu populacji, ale ze względu na zalety podstawowego parametru, jakim jest wartość średnia populacji, często ograniczyć się można do porównania właśnie średnich w dwu populacjach.'

W zależności od U ości posiadanych o porównywanych, populacjach informacji wyróżnimy trzy modele. W każdym z nich weryfikować można hipotezę jW₀ : m₁=m₂, czyli m, —ra₂ =0, gdzie ąisij oznaczają wartośd. średnie odpowiednio pierwszej i drugiej populacji generalnej. Postać Jhipo-: tezy alternatywnej decyduje o rodzaju wybieranego w stosowan dla hipotezy H_a teście istotności, jednostronnego lub dwustronnego o szaru krytycznego.

Model I. Bil damy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne .Vłw_:, a i) i A'{m₂. o₂). Odchylenia standardowe i <j₂ tych populacji są znane- W oparciu o wyniki dwoi niezależnych prób- odpowiednio o li-czebnościach k_x i n₂, wylosowanych z t>ch populacji należy sprawdzić hipotezę ll₀: m₃ = m₂, wobec hipotezy alternatywnej H,: m_v źm₂.

Test istotności dla tej hipotezy budujemy w następując)- sposób. Z wy-r.ików. prób wylosowanych z tych populacji obliczamy wartości średnich i x₂. a następnie wartość statystyki U według wzoru

\ u_x n.

Statystyka ta przy założeniu prawdziwości hipotezy B_(i ma rozkład A^r(0,l). 7 tablicy rozkładu normalnego .V{0. 1) należy dla przyjętego z góry po* ziomu istotności cl wyznaczyć taką wartość krytyczną u_x, by spełniona była równość P{V,^u₇) = o:. Nierówność w nawiasie powyższego wzoru określa dwustronny obszar krytyczny testu, czyli gdy przy porównaniu wartości w wyznaczonej ze wzoru z wartością u* odczytaną z tablicy zajdzie nierówność |u\^u_a, to sprawdzaną hipotezę ff₀ odrzucamy na korzyść jej alternatywy H_x. Gdy zaś otrzymamy nierówność przeciwną, tj. |w| to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Ho-

Uwaga. Dla hipotezy' alternatywnej H_t: m₁<m₂ stosujemy test istotności z lewostronnym obszarem krytycznym £/«£«*, Wartość krytyczną w, odczytuje.się wtedy z tablicy rozkładu jV(0, 1) tak, by P {U ^u_a}=^tz. Natomiast dla hipotezy alternatywnej i/_x : łn_i>m_2r stosujemy test z prawostronnym obszarem krytycznym U^u_a. Wartość krytyczną u_x odczytuje się wtedy z tablicy rozkładu N(0, 1) tak, by zachodziło P{Uźu_a)=-a.

Model II. Badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne A (/Ki, <7₃) oraz N(m_it cr₂), przy czym odchylenia standardowe tych populacji są nieznane, ale jednakowe, tzn, zachodzi ff_x=<7₂. Na podstawie wyników dwu małych prób odpowiednio o liczebnościach i n_Xy wylosowanych niezależnie z tych populacji, należy zweryfikować hipotezę Ho : /Kj = nt₂ wobec hipotezy alternatywnej H_x : m_t i±m₂.

S Greń