8416072475

Zauważmy od razu, że nasze funkcje bazowe (f>j j = 0,1, • • •, n stanowią układ ortogonalny w sensie tego iloczynu skalarnego. Istotnie:

(<t>r,<t>s) = Y M^xt)M^xk) = k=0

k=0

Oznaczmy q = e*”+^T^^r-s\ Wtedy

(0r, <j>s]

⁼ E^

i=o

i +1 gdy

l-q

: 1

gdy q ^ 1 '

Ponieważ r — s jest liczbą całkowitą, to

q^n+l = (_e*'^fr^^r_^)ⁿ⁺¹ = _eⁱ²ⁿ(^r~^s) = i.

Stąd

(<KAs) = 6_r,_s(n + l).

Fakt ortogonalności układu funkcji bazowych 4>k k = 0,1, • • •, n pozwala w prosty sposób wyrazić współczynniki Cj wielomianu interpolacyjnego T_n.

Mnożąc stronami wzór (1.17) z prawej strony przez f>_r{xk), oraz sumując dla k = 0,1, • • •, n otrzymamy

{Tn, <f>r) = it ^Cj{<t>ji 4>r) = {f, <t>r)-3=0

Ale 4>_r) = Sj,k(n +1), więc

(1.18)    r = 0, 1, •••,«.

Współczynniki Cj = noszą nazwę współczynników Fouriera funkcji / względem układu ortogonalnego </>*,, k = 0,1, • • • ,n. Zadanie obliczania współczynnikóą Fouriera nazywa się analizą fourierowską zaś zadanie obliczania wartości wielomianu interpolacyjnego T_n(x) = Yfj=o Cj4>j(^x) ~ syntezą fourierowską.

18