8676616544

1.1. Elementy analizy matematycznej

gdzie /⁽ⁿ)(0) - wartość n-tej pochodnej pewnej funkcji f(x) dla x = 0.

Można wykazać, że jeśli funkcja f(x) jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy w pewnym otoczeniu x = 0 oraz:

n-oo n!

gdzie c zawarte jest pomiędzy 0 a a:, to:

/(*) = /(<>) + £«» (1-2)

71=1

Twierdzenie 1. Jeżeli istnieje n-ta pochodna funkcji f(x) w otoczeniu x — 0, istnieje dokładnie jeden wielomian V (x), stopnia n lub niższego spełniający warunek:

m = /(O), -/(O) = /(O), v"(0) = /"(O).....0“)(O) = /<“>(0)

Dowód	1. Niech V(x) =	a + bx + cx^2 + ... + lx^n Wtedy:
V(x)	- b + 2cx	+ ... + nlx^n~^x
V"(x)	= 2c	4- 6dx + ... + n(n — 1 )lx^n~^2
V<»1	= n\l
Wtedy:
V(0)	= a
V'(0)	= b
V"(0)	= 2 c
y(")(0)	= nil

Wymagamy aby spełniony był warunek

V(0) = /(O), V(0) = /(O), V"(0) = /"(O), ..., v<”>(o) = /<“>(0)

Czyli:
a =	m
b	/(O)
2 c =	/"(O)
n\l =	/^w( 0)

Jedyny wielomian stopnia n lub niższego spełniający te warunki ma postać:

, ^xf'(0)    x²f"(0)    x³f'"(0)    s^w/^(w)(0)

^J{)    1!    2!    3!    _n\

2