9414912334

WYZNACZNIK

Każdej macierzy kwadratowej przyporządkowujemy liczbę zwaną wyznacznikiem.

Jeżeli A = [ay]„_l0 jest macierzą kwadratową stopnia n, to jej wyznacznik będziemy oznaczać przez:

Oli 012    ... Oln

021    «22    - • •    02n

Oni 0»2    • • • Onn

bądź krócej: |A| lub detA.

Definicja. Wyznacznik macierzy A stopnia n jest to liczba rzeczywista, którą definiujemy następująco: n = 1 i A = [o_u] , to |A| = on

n = 2 i A =

On o 12

«21 022

. i < i On O12    <*f

, to \A —    ^— O11O22 ^— 012O21

I O21    022 |

[Oli    «i2    Oi3    1

021    022    023    ,    tO

«31    O32    033    J

Oli O12    O13

021 O22 O23

O31    032    O33

df O11O22O33 + 021032013 + 031012023 + ^—013022031 ^— 023032011 — 033012021

W ogólnym przypadku: jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to wyznacznik macierzy A jest sumą n! składników, z których każdy zawiera iloczyn n elementów macierzy A wybieranych w ten sposób, że w każdym iloczynie występuje dokładnie jeden element z każdej kolumny i dokładnie jeden element z każdego wiersza. Połowa składników sumy występuje ze znakiem „+" i połowa - ze znakiem

Twierdzenie (Laplace'a). Wyznacznik macierzy A stopnia n>3 można obliczyć korzystając z zależności:

detA = OjiAj, + Oj2Aj2 + ... + Oń,Aj_n , dla dowolnego 1 ^ i < n

lub

detA = aijAij + OzjAij +... + Onj^nj > dla dowolnego 1 ^ j ^ n

Czynnik Ay nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu «„• macierzy A i definiujemy jako liczbę:

Ai = (-!)*«•

gdzie Mij jest wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n - 1, powstałej z macierzy A przez